Модулярная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве \mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы[⇨] широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

 f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)

для каждой матрицы:

\left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ),

принадлежащей модулярной группе PSL(2,\Z).

Модулярная форма[править | править вики-текст]

Модулярной формой веса k для группы \Gamma_{0}(N) называется голоморфная функция f\colon H \rightarrow C, удовлетворяющая условию:

f(g \tau) = (c \tau + d)^{k} f(\tau) для любых g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N) и \tau \in H

и голоморфная во всех параболических точках[1][2].

Пусть H — верхняя комплексная полуплоскость: H = \left\{ z \in C \mid \mathop{\mathrm{Im}}(z) > 0 \right\}. Группа матриц \Gamma_{0}(N) для натурального числа N определяется как:

\Gamma_{0}(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_{2} \;\Big\vert\; c \equiv 0 \pmod N \right\}.

Группа \Gamma_{0}(N) действует на H с помощью дробно-линейных преобразований g \tau = \frac{a \tau + b}{c \tau + d}, где g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N) и \tau \in H .[3]

Свойства модулярных форм[править | править вики-текст]

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса 2k является (при k > 1) ряд Эйзенштейна:

G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}},

где  z \in \mathbb{H}.

Пусть

g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}

— модулярные инварианты, \Delta=g_2^3-27g_3^2 — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta},

выполняются равенства:

g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau),
\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau).

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть g_2 — модулярная форма веса 4, \Delta — модулярная форма веса 12. Соответственно g_2^3 — модулярная форма веса 12, а j(z) — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и элиптических кривых.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
  • Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
  • Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
  • В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с.

Ссылки[править | править вики-текст]