Дерево примитивных пифагоровых троек

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Классическое дерево примитивных пифагоровых троек

Дерево примитивных пифагоровых троек — троичное дерево[en], образуемое примитивными пифагоровыми тройками, то есть пифагоровыми тройками, не имеющими общих делителей. Впервые открыто в 1934 году шведским математиком Берггреном[1].

В 1963 году установлено[2], что при умножении справа любой из трёх матриц

на вектор-столбец, компоненты которого составляют пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую пифагорову тройку. Если исходная тройка была примитивной, то таковой будет и результирующая. Таким образом, каждая примитивная тройка имеет три «потомка». Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (3, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. Результат графически можно представить в виде бесконечного троичного дерева с тройкой (3, 4, 5) в качестве корня[3][4].

Доказательство[править | править код]

Содержание в дереве исключительно примитивных троек[править | править код]

По индукции можно доказать, что дерево содержит примитивные тройки и ничего другого.

Пифагоровы тройки остаются пифагоровыми[править | править код]

Прямым вычислением можно показать, что при умножении одной из выше приведённых матриц на пифагорову тройку получим снова пифагорову тройку.

Сохранение примитивности[править | править код]

Все три матрицы A, B и C являются унимодулярными, то есть они имеют целочисленные элементы и их определители равны ±1. Таким образом, обратные к ним также унимодулярны и, в частности, состоят только из целочисленных элементов. Таким образом, при умножении любой из них, скажем A, на примитивную пифагорову тройку (a, b, c)T, получим другую тройку (d, e, f)T = A(a, b, c)T, а тогда (a, b, c)T = A−1(d, e, f)T. Если какое-либо простое число делит два из (а тогда и все три) d, e и f, то отсюда вытекает, что это простое будет делить и каждое из чисел a, b и c. Таким образом, если a, b и c взаимно просты, то и d, e и f должны быть взаимно просты. Это утверждение также справедливо для матриц B и C.

Содержание в дереве всех примитивных троек ровно один раз[править | править код]

Чтобы показать, что дерево содержит любую примитивную тройку, но не более чем один раз, достаточно показать, что от любой тройки существует в точности один путь обратно к корню (3, 4, 5). Это можно показать, если применить каждую из унимодулярных обратных матриц A−1, B−1 и C−1 к произвольной примитивной пифагоровой тройке (d, e, f). Заметим, что по соображениям, приведённым выше, тройки остаются примитивными и пифагоровыми. Заметим также, что для любой примитивной тройки, большей (3, 4, 5), ровно одна обратная матрица даёт тройку с положительными элементами (и все меньше гипотенузы). По индукции эта новая тройка сама порождает ровно одну меньшую тройку и так далее. Поскольку гипотенуза положительна, она не может уменьшаться бесконечно, и когда-нибудь будет достигнута тройка (3, 4, 5). Это доказывает, что, тройка (d, e, f) должна присутствовать в дереве, и, поскольку путь только один, она должна появиться ровно один раз.

Свойства[править | править код]

Если начать с корня (a, b, c) = (3, 4, 5), то преобразование с помощью матрицы

  • A сохраняет свойство b + 1 = c,
  • B сохраняет свойство a − b = ±1,
  • C сохраняет свойство a + 2 = c.

Геометрическая интерпретация этих трёх свойств опирается на вневписанные окружности. Три потомка каждого родительского треугольника «наследуют» радиус вписанной окружности от родителя — радиус вневписанной окружности родителя становится радиусом вписанной окружности потомка[5]. Например, родитель (3, 4, 5) имеет радиусы вневписанных окружностей 2, 3 и 6. Это как раз радиусы вписанных окружностей потомков (5, 12, 13), (15, 8, 17) и (21, 20, 29) соответственно.

Если матрицы A или C использовать последовательно, начиная с некоторой пифагоровой тройки, то поведение a, b и c можно выразить как поведение x в уравнении

которое появляется из общего характеристического уравнения

Если применять последовательно B, то поведение чисел a, b и c можно выразить как поведение x в уравнении

которое появляется из характеристического уравнения для B[6].

Более того, можно найти бесконечно много других рекуррентных уравнений, умножая эти три матрицы друг на друга произвольное число раз в произвольной последовательности. Например, матрица D = CB перемещает вершину в дереве за один шаг на две позиции (напротив, затем вниз). Характеристическое уравнение для D даёт поведение любой тройки a, b и c в неполном дереве, образованном матрицей D.

Другие методы получения дерева[править | править код]

Другой подход для этого дерева [7] основывается на стандартной формуле получения пифагоровых троек:

,
,
,

с m > n > 0, где m и n взаимно просты и имеют различную чётность. Пары (m, n) можно получать путём умножения их (слева, при представлении этой пары в виде столбца) на любую из матриц

Умножение на любую из этих матриц сохраняет неравенство чисел, взаимную простоту и противоположность чётности. Результирующее троичное дерево содержит все такие пары (m, n) ровно раз, а если перевести их в тройки (a, b, c), дерево становится тем же, что и описано выше.

Ещё один способ, использующий два параметра для генерации троек [8] использует альтернативную формулу для всех примитивных троек:

,
,
,

с u > v > 0, где u и v взаимно просты и нечётны. Пары (u, v) можно получать путём умножения слева (если представить эту пару в виде вектор-столбца) на одну из вышеприведённых 2 × 2 матриц, при этом будет сохраняться неравенство чисел, взаимная простота и нечётность. Если процесс начать с (3, 1), результирующее дерево содержит каждую пару (u, v) ровно раз, а при приведении к тройкам (a, b, c) дерево становится тем же самым, что и выше.

Другое дерево[править | править код]

В 2008 году[5] обнаружено, что отличное от вышеприведённого дерево можно получить сходным образом, если использовать матрицы

См. получение пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований[en].

Примечания[править | править код]

  1. Berggren, 1934, p. 129—139 См. с. 6 с корневым деревом.
  2. Barning, 1963.
  3. Hall, 1970, с. 377—9.
  4. Kanga, 1990, с. 15—17.
  5. 1 2 Price, 2008, с. 7.
  6. Mitchell, 2009, с. 358—359.
  7. Saunders, Randall, 1994, с. 190—193.
  8. Mitchell, 2001, с. 273—275.

Литература[править | править код]

  • Douglas W. Mitchell. An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 (July).
  • Douglas W. Mitchell. Feedback on 92.60 // Mathematical Gazette. — 2009. — Т. 93 (July).
  • H. Lee Price. The Pythagorean Tree: A New Species. — 2008.
  • Robert A. Saunders, Trevor Randall. The family tree of the Pythagorean triplets revisited // Mathematical Gazette. — 1994. — Т. 78 (July). — JSTOR 3618576.

Ссылки[править | править код]