Жёсткая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Жёсткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется (нестрого говоря) такая система ОДУ, численное решение которой явными методами (например, методами Рунге — Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения числа вычислений (при малом шаге интегрирования) или из-за резкого возрастания погрешности (так называемого, взрыва погрешности) при недостаточно малом шаге. Для жёстких систем характерно то, что для них неявные методы дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы[1].

Формальное определение[править | править код]

Рассмотрим задачу Коши для автономной системы ОДУ вида

(1)

где  — неизвестная вектор-функция,  — заданная вектор-функция,  — независимая переменная,  — начальное условие.

Система (1) называется жёсткой, если для любых начальных значений на заданном отрезке , принадлежащем интервалу существования решения (1), выполнены условия:

  • существуют такие числа , , , которые удовлетворяют условиям:
  • справедливо следующие неравенство:

Здесь

 — фундаментальная матрица уравнения в вариациях для системы (1);
 — матричная -норма.
 — так называемая длина (параметр) пограничного слоя.

К жёстким дифференциальным системам ОДУ также относятся системы, для которых эти условия выполняются после масштабирования компонент вектора на каждом решении.

Так как любую неавтономную систему ОДУ порядка можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию, то неавтономная система ОДУ называется жёсткой, если жёсткой является равносильная ей автономная система порядка .

Примечания[править | править код]

  1. Curtiss C. F., Hirschfelder J. О. Integration of stiff equations // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1952. — vol. 38(3). — pp. 235—243.

Литература[править | править код]

  • Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 685 с. — ISBN 5-03-003117-0..
  • Curtiss C. F., Hirschfelder J. О. Integration of stiff equations // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1952. — vol. 38(3). — pp. 235—243.

Ссылки[править | править код]