Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ в природе невозможен: свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются, поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний $A$ является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $\scriptstyle u'_{t}$ или её квадрата. В акустике затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. $B$ — демпфер, $F$ — внешняя сила (в примере не присутствует).

Для системы, состоящей из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой $m$ , колебания в которой совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом $c$ (вязкое трение) второй закон Ньютона запишется как:

m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y}

,

где $F_{c}=-cv$ — сила сопротивления, а $F_{y}=-kx$ — сила упругости.

Таким образом:

ma+cv+kx=0

,

или в дифференциальной форме:

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0

,

где $k$ — коэффициент упругости в законе Гука, $c$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

\omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}

.

Величину $\omega _{0}$ называют собственной частотой системы, $\zeta$ — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид:

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

.

Возможные решения уравнения затухающих колебаний

Уравнение для пружинного маятника является общим уравнением затухающих колебаний величины $x$ (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой); если абстрагироваться от того, как были получены параметры $\omega _{0}$ и $\zeta$ в случае маятника, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.

При замене $x=e^{\lambda t}$ получают характеристическое уравнение:

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0

,

корни которого вычисляются по формуле:

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}})

.

Зависимость графиков колебаний от значения $\zeta$ .

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта: апериодичность, граница апериодичности, слабое затухание.

Вариант апериодичности возникает, если $\zeta >1$ , в этом случае имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t}

и колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Случай границы апериодичности имеет место при $\zeta =1$ , тогда два действительных корня совпадают $\lambda =-\omega _{0}$ , и решением уравнения является: