Затухающие колебания

Затухающие колебания пружинного маятника

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $\scriptstyle u'_{t}$ или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Пример — затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется как

$m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},$

где $F_{c}=-cv$ — сила сопротивления, а $F_{y}=-kx$ — сила упругости. Получается

$ma+cv+kx=0,$

или в дифференциальной форме

${\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,$

где $k$ — коэффициент упругости в законе Гука, $c$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

$\omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.$

Величину $\omega _{0}$ называют собственной частотой системы, $\zeta$ — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.$

Уравнение затухающих колебаний. Возможные решения

Последнее уравнение предыдущего раздела является общим уравнением затухающих колебаний величины $x$ (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой). Если абстрагироваться от того, как были получены параметры $\omega _{0}$ и $\zeta$ в конкретном примере, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.

Сделав замену $x=e^{\lambda t}$, получают характеристическое уравнение

$\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,$

корни которого вычисляются по формуле

$\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}).$

Зависимость графиков колебаний от значения $\zeta$.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

• Апериодичность

Если $\zeta >1$, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

$x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t}$

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

• Граница апериодичности

Если $\zeta =1$, два действительных корня совпадают $\lambda =-\omega _{0}$, и решением уравнения является:

$x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t}$

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

• Слабое затухание

Если $\zeta <1$, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

$\lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

$x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)),$

где $\omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_{1}$ и $c_{2}$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

См. также

• Сейсмоосциллятор
• Логарифмический декремент колебаний

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.