Изотермические координаты

Изотермические (или конформные) координаты — локальные координаты на поверхности, малые координатные квадраты которой близки к квадратам.

Определение

Система координат на поверхности называется изотермической, если компоненты $E,F,G$ первой квадратичной формы удовлетворяют соотношениям $E=G$ и $F=0$.

Замечания

• Координатные линии изотермической системы координат образуют так называемую изотермическую сеть.

Примеры

• На поверхности вращения меридианы и параллели образуют изотермическую сеть
• Асимптотическая сеть на минимальной поверхности — изотермическая сеть

Свойства

• Изотермическая система координат задаёт конформное отображение на плоскость. То есть линейный элемент поверхности имеет вид:

  $ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})$

где $\rho$ конформный фактор.

• Если гармоническая функция $u$ на поверхности имеет ненулевой градиент $\nabla _{p}u\neq 0$ то в некоторой точке $p$, функция $u$ является координатой некоторой изотермической системы координат $(u,v)$. Вторая функция $v$ называется сопряжённой к $u$, она определена однозначно с точностью до сдвига и знака.

• Гауссова кривизна в изотермической системе координат выражается формулой

  $K=-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\Delta \phi =-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial v^{2}}}\right),$

где $\rho =e^{\varphi }$ конформный фактор.

Вариации и обобщения

• Изотермическая сеть — частный случай ромбической сети.

См. также

• Изотермическая поверхность