Интегральная теорема Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Пусть  — область, а функция голоморфна в и непрерывна в замыкании . Тогда для некоторой односвязной области и для любой замкнутой жордановой кривой справедливо соотношение

Доказательство

[править | править код]

Приведем доказательство, когда область односвязна, а производная непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма замкнута. Пусть теперь  — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции , ограничивающий область . Тогда по теореме Стокса имеем:

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы . Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу , то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка , в достаточно малой окрестности которой .

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

Литература

[править | править код]
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.