Интегральная теорема Коши

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Теорема

Пусть $D\subset \mathbb {C}$ — область, а функция $f(z)$ голоморфна в $D$ и непрерывна в замыкании ${\overline {D}}$. Тогда для некоторой односвязной области $A\subset \mathbb {C} ,$ и для любой замкнутой жордановой кривой $\Gamma \subset A$ справедливо соотношение $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Доказательство

Приведем доказательство, когда область $D$ односвязна, а производная $f$ непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма $f(z)\,dz$ замкнута. Пусть теперь $\Gamma$ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции $f(z)$, ограничивающий область $D$. Тогда по теореме Стокса имеем:

$\int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=\int \limits _{\partial D}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f(z)\,dz]=0$

Обобщение

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы $f(z)dz$. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу $a$, то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка $p$, в достаточно малой окрестности которой $f(z)=f(p)+f'(p)(z-p)+o(z-p)$.

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.