Интегральная теорема Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Теорема[править | править исходный текст]

Для любой функции f(z), аналитической в некоторой односвязной области A\subset\mathbb C, и для любой замкнутой кривой \Gamma\subset A справедливо соотношение \oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0

Доказательство[править | править исходный текст]

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма f(z)\,dz замкнута. Пусть теперь \Gamma — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции f(z), ограничивающий область D. Тогда по теореме Стокса имеем:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0

Прочее[править | править исходный текст]

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.