Условия Коши — Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .

Формулировка[править | править вики-текст]

В декартовых координатах[править | править вики-текст]

Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Компактная запись:

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:

Доказательство[править | править вики-текст]

1. Необходимость[править | править вики-текст]

По условию теоремы существует предел

,

не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение

.

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей.[источник не указан 948 дней] Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

Полагая , находим

.

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность[править | править вики-текст]

По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде

,
,

где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду

.

Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .

В полярных координатах[править | править вики-текст]

В полярной системе координат условия Коши-Римана выглядят так:

Компактная запись:

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции[править | править вики-текст]

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль и аргумент функции следующим образом:

Геометрический смысл условий Коши-Римана[править | править вики-текст]

Пусть функция дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство:
Второе семейство:

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши-Римана[править | править вики-текст]

Если рассматривать множество комплексных чисел как векторное пространство над , то значение производной функции в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства в себя (-линейность). Если же рассматривать как одномерное векторное пространство над , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства в себя (-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число . Очевидно, всякое -линейное отображение -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) изоморфно полю вещественных матриц вида с обычными матричными операциями, условия Коши-Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения в точке (точнее, отображения в точке ), являются условиями -линейности , т.е. .

История[править | править вики-текст]

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.