Интегральный логарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

Для устранения сингулярности при иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

Эти две функции связаны соотношением:

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд[править | править вики-текст]

Из тождества, связывающего и следует ряд:

где  — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

Интегральный логарифм и распределение простых чисел[править | править вики-текст]

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем . При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]

Для не слишком больших , однако доказано, что при некотором достаточно большом неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху .

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.