Число Скьюза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число n, такое, что, начиная с него, неравенство \pi(n)<\mathrm{Li}(n)\,\! перестает выполняться, где \pi(n)\,\! — количество простых чисел, не превосходящих n\,\!, \mathrm{Li}(n)=\int\limits_2^n \frac{dt}{\ln(t)} — сдвинутый интегральный логарифм[1].

Джон Литтлвуд в 1914 дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

Стенли Скьюз в 1933 оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как \exp^3(79) = e^{e^{e^{79}}} \approx \!\ 10^{10^{10^{34}}}\,\! — первое число Скьюза, обозначающееся \mathrm{Sk}_1.

В 1955 он же дал оценку без предположения о верности гипотезы Римана:  \exp^4(7.705) = e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\approx 10^{10^{10^{963}}}  — второе число Скьюза, обозначающееся \mathrm{Sk}_2. Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 Риел (H. J. J. te Riele) без предположения гипотезы Римана свёл число Скьюза к e^{e^{27/4}}, что приблизительно равно 8,185·10370.

К 2016 году известно, что число Скьюза заключено между 1019[2] и 1,39822×10316[3].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ю. В. Матиясевич. Алан Тьюринг и теория чисел // Математика в высшем образовании. — 2012. — № 10. — С. 111-134.
  2. Jan Büthe. An analytic method for bounding ψ(x) // arΧiv1511.02032.
  3. Carter Bays and Richard H. Hudson. A new bound for the smallest x with π(x) > li(x) // Math. Comp. — 2000. — Vol. 69. — P. 1285-1296. — DOI:10.1090/S0025-5718-99-01104-7. MR1752093.