Информация Фишера

Информа́ция Фи́шера — математическое ожидание квадрата относительной скорости изменения условной плотности вероятности $p(x|\theta )$. Эта функция названа в честь описавшего её Рональда Фишера.

Определение

Пусть $f(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})$ — плотность распределения для данной статистической модели. Тогда если определена функция

$I_{n}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}{\partial \theta }}\right)^{2},\;L=\sum _{i=1}^{n}\ln f(\theta ,x_{i})$,

где $L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})$ — логарифмическая функция правдоподобия, а $\mathbb {E} _{\theta }$ — математическое ожидание по $x$ при данном $\theta$, то она называется информацией Фишера для данной статистической модели при $n$ независимых испытаниях.

Если $\ln f(x;\theta )$ дважды дифференцируем по $\theta$, и при определенных условиях регулярности, информацию Фишера можно переписать как

$I_{n}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;X)}{\partial \theta }}\right)^{2}=-\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial ^{2}L(\theta ,\;X)}{\partial \theta ^{2}}}\right)$

Для регулярных моделей: $\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}{\partial \theta }}\right)=0$ (В этом и состоит определение регулярности).

В этом случае, поскольку математическое ожидание функции вклада выборки равно нулю, выписанная величина равна её дисперсии.

Фишеровским количеством информации, содержащемся в одном наблюдении называют:

$I_{i}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial \ln f(\theta ,\,x_{i})}{\partial \theta }}\right)^{2}$.

Для регулярных моделей все $I_{i}(\theta )$ равны между собой.

Если выборка состоит из одного элемента, то информация Фишера записывается так:

$I(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial \ln f(\theta ,\,x)}{\partial \theta }}\right)^{2}$.

Из условия регулярности, а также из того, что в случае независимости случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, следует, что для $n$ независимых испытаний $I_{n}(\theta )=nI(\theta )$.

Свойства

• Из указанного выше свойства дисперсий следует, что в случае независимости случайных величин $\xi _{1}(\theta ,\,x),\dots ,\,\xi _{n}(\theta ,\,x)$ (рассматриваемых в одной статистической модели) информация Фишера их суммы равна сумме информации Фишера каждой из них.

Сохранение информации достаточной статистикой

В общем случае, если $T=t(X)$ — статистика выборки X, то

$I_{T}(\theta )\leq I_{X}(\theta )$

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда T является достаточной статистикой.

Достаточная статистика содержит столько же информации Фишера, сколько и вся выборка X. Это может быть показано с помощью факторизационного критерия Неймана для достаточной статистики. Если статистика $T(X)$ достаточна для параметра $\theta$, то существуют функции g и h такие, что:

$f(X;\theta )=g(T(X),\theta )h(X)$

Равенство информации следует из:

${\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln \left[f(X;\theta )\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln \left[g(T(X);\theta )\right]$

что следует из определения информации Фишера и независимости $h(X)$ от $\theta$.

См. также

• Неравенство Крамера — Рао
• Информационное неравенство (математическая статистика)

Другие меры, используемые в теории информации:

• Информационная энтропия
• Расстояние Кульбака — Лейблера
• Собственная информация

Литература

• Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-013941-6.