Квадратная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Квадратные решётки
Square Lattice.svg
Вертикальный квадрат
Simple
Диагональный квадрат
Centered
Вертикальная квадратная мозаика. Вершины всех квадратов вместе с их центрами образует квадратную решётку. Центры квадратов одного цвета образуют диагональную решётку, которая в √2 раза больше решётки вертикальных квадратов.

Квадратная решётка — это вид решётки в двумерном евклидовом пространстве. Решётка является двумерной версией целочисленной решётки и обозначается Z2[1]. Решётка является одной из пяти типов двумерных решёток, классифицированных по группам симметрии[2], Группа симметрии решётки в обозначениях IUCp4m[3], в нотации Коксетера[en] — [4,4][4], а в орбифолдной нотации[en] — *442[5].

Две ориентации решётки наиболее популярны. Обычно квадраты решётки размещаются так, что стороны квадрата вертикальны и горизонтальны (будем называть это вертикальной решёткой), либо стороны квадратов расположены под углом 45 градусов по отношению к осям. В последнем случае решётку иногда называют центрированной квадратной решёткой[6].

Симметрия[править | править код]

Симметрия квадратной решётки — это группа обоев p4m. Орнамент с этой решёткой симметрии переноса не может иметь более высокую степень симметрии, чем сама решётка, но может иметь меньшую степень. Вертикальную квадратную решётку можно рассматривать как диагональную решётку с размером сетки в √2 раза больше и центры этой решётки находятся в центре квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов в квадраты вертикальной решётки мы получаем решётку в √2 раза меньшую исходной решётки. Орнамент с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решётку 4-кратных центров вращения, которая в √2 раза мельче и расположена диагонально по отношению к исходной решётке симметрии переноса.

По отношению осей отражения существует три возможных ситуации:

  • Отсутствие симметрии. Это группа обоев p4.
  • В четырёх направлениях. Это группа обоев p4m.
  • В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную решётку, которая по размерам и по направлениям совпадает с квадратной решёткой центров вращения.
p4, [4,4]+, (442) p4g, [4,4+], (4*2) p4m, [4,4], (*442)
Wallpaper group diagram p4 square.svg Wallpaper group diagram p4g square.svg Wallpaper group diagram p4m square.svg
Группа обоев p4, с расположением внутри примитивной ячейки 2- и 4-кратных центров вращения (верно и для p4g и p4m). Фундаментальная область показана жёлтым цветом. Группа обоев p4g. Есть оси отражения в двух направлениях, не проходящие через 4-кратные центры вращения. Группа обоев p4m. Есть оси отражения в четырёх направлениях, проходящие через 4-кратные центры вращения. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же и с той же плотностью, что и для p4g, но сдвинуты. В двух направлениях они в √2 плотнее.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Conway, Sloane, 1999, с. 106.
  2. Golubitsky, Stewart, 2003, с. 129.
  3. Field, Golubitsky, 2009, с. 47.
  4. Johnson, Weiss, 1999, с. 1307–1336, см. стр 1320.
  5. Schattschneider, Senechal, 2004, с. 53–72.
  6. Johnston, Richman, 1997, с. 159.

Литература[править | править код]