Центрированное квадратное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

Фигуры для первых четырех центрированных квадратных чисел показаны ниже:

GrayDot.svg     GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
           

Связь с другими фигурными числами[править | править код]

n-ое центрированное квадратное число задается формулой

Другими словами, центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:

GrayDot.svg     RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Формулу можно представить следующим образом

таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-го нечетного квадрата + 1/2, что иллюстрируется ниже:

GrayDot.svg     GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
           

Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:

где

есть n-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:

BlackDot.svg     RedDot.svg
GrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p. 50).

Свойства[править | править код]

Первые несколько центрированных квадратных чисел[1]:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6, 8 или 12.

Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13).

Центрированные квадратные простые[править | править код]

Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.

Несколько первых центрированных квадратных простых[2]:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …

Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Последовательность A001844 в OEIS
  2. Последовательность A027862 в OEIS

Литература[править | править код]

  • Alfred, U. (1962), "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Mathematics Magazine Т. 35 (3): 155–164 
  • Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 125 
  • Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, с. 41–42, ISBN 0-387-97993-X 

Ссылки[править | править код]