Квадратный паркет
| Квадратная мозаика | |
|---|---|
| |
| Тип | Правильная мозаика |
| Конфигурация граней |
4.4.4.4 (или 44)  |
| Конфигурация граней |
V4.4.4.4 (или V44) |
| Символ Шлефли |
{4,4} |
| Символ Витхоффа |
4 | 2 4 |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
    
|
| Симметрия | p4m, [4,4], (*442) |
| Симметрия вращения |
], p4, [4,4]+, (442)| |
| Двойственная мозаика |
самодвойственны |
| Свойства | вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная |
Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.
Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).
Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.
Однородные раскраски[править | править код]
Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.
| 9 однородных раскрасок | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1111 | 1212 | 1213 | 1112i | 1122 | |||||||
|
|
|
|
| |||||||
| p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) | |||||||||
| 1234 | 1123i | 1123ii | 1112ii | ||||||||
|
|
|
| ||||||||
| pmm (*2222) | cmm (2*22) | ||||||||||
Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.
Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.
Связанные многогранники и мозаики[править | править код]
Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…
| Варианты симметрии *n42 правильных мозаик: {4,n} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | ||||||||
 {4,3} 
|
 {4,4}
|
 {4,5} 
|
 {4,6} 
|
 {4,7} 
|
 {4,8}... 
|
 {4,∞}
| |||||
Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера —
при n, стремящемся к бесконечности.
| Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4} | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Евклидовы | Гиперболические мозаики | |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
| Варианты симметрии *n42 квазиправильных двойственных мозаик: V(4.n)2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия *4n2 [n,4] |
Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | Некомпактные | ||||||
| *342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[iπ/λ,4] | ||||
| Мозаика Конф. |
 V4.3.4.3 |
V4.4.4.4 |
 V4.5.4.5 |
 V4.6.4.6 |
 V4.7.4.7 |
 V4.8.4.8 |
 V4.∞.4.∞ |
V4.∞.4.∞ | |||
| Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: n.4.4.4 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия [n,4], (*n42) |
Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | |||||||
| *342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4] |
*∞42 [∞,4] | |||||
| Расширенные тела |
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Конфиг. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
| Ромбические тела конфиг. |
 V3.4.4.4 |
V4.4.4.4 |
 V5.4.4.4 |
 V6.4.4.4 |
 V7.4.4.4 |
 V8.4.4.4 |
 V∞.4.4.4 | ||||
Построение Витхоффа из квадратной мозаики[править | править код]
Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик, имеющих в основе правильную квадратную мозаику.
Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.
| Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [4,4], (*442) | [4,4]+, (442) | [4,4+], (4*2) | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| {4,4} | t{4,4} | r{4,4} | t{4,4} | {4,4} | rr{4,4} | tr{4,4} | sr{4,4} | s{4,4} | |||
| Uniform duals | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 | ||||
Топологически эквивалентные мозаики[править | править код]
Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).
Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].
|
|
|
|
|
|
|
| Квадрат p4m, (*442) |
Четырёхугольник p4g, (4*2) |
Прямоугольник pmm, (*2222) |
Параллелограмм p2, (2222) |
Параллелограмм pmg, (22*) |
Ромб cmm, (2*22) |
Ромб pmg, (22*) |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
| |
| Трапеция cmm, (2*22) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Дельтоид pmg, (22*) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Четырёхугольник p2, (2222) | ||
|
|
|
|
|
|
| Равнобедренный pmg, (22*) |
Равнобедренный pgg, (22×) |
Неравносторонний pgg, (22×) |
Неравносторонний p2, (2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
Упаковка кругов[править | править код]
Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.
|
|
|
|
Связанные правильные комплексные бесконечноугольники[править | править код]
Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].
| Самодвойственные | Двойственные | |
|---|---|---|
|
|
|
4{4}4 или  
|
2{8}4 или
|
4{8}2 или
|
См. также[править | править код]
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
- Список однородных мозаик
- Квадратная решётка
- Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Примечания[править | править код]
- ↑ Голомб, 1975, с. 147.
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
- ↑ Critchlow, 1987, с. 74—75.
- ↑ Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.
Литература[править | править код]
- Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
- Coxeter H. C. M. Table II: Regular honeycombs // Regular Polytopes (book). — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 296. — ISBN 0-486-61480-8.
- Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
- Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
- Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Square Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты в пространствах размерности 2–10 | |
|---|---|
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|