Квадратный паркет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Квадратная мозаика
1-uniform n5.svg
Тип Правильная мозаика[en]
Конфигурация
граней
4.4.4.4 (или 44)
Square tiling vertfig.png
|
Конфигурация
граней
V4.4.4.4 (или V44)
Символ
Шлефли
{4,4}
Символ
Визоффа
4 | 2 4
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Симметрия p4m, [4,4], (*442)
Симметрия
вращения
], p4, [4,4]+, (442)|
Двойственная
мозаика
самодвойственны
Свойства вершинно транзитивная
гране транзитивная
рёберно транзитивная[en]*

Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.

Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.

Однородные раскраски[править | править код]

Существует 9 различных однородных раскрасок[en] квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.

Доска Го с камнями

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Связанные многогранники и мозаики[править | править код]

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — CDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png при n, стремящемся к бесконечности.

Построение Визоффа из квадратной мозаики[править | править код]

Подобно однородным многогранникам[en] существует восемь однородных мозаик[en], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Топологически эквивалентные мозаики[править | править код]

Изогональный вариант с двумя типами граней
2-изоэдральный вариант с ромбическими гранями

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].

Изоэдральные четырёхугольные мозаики
Isohedral tiling p4-56.png Isohedral tiling p4-49.png Isohedral tiling p4-54.png Isohedral tiling p4-50.png Isohedral tiling p4-51.png Isohedral tiling p4-55.png Isohedral tiling p4-51c.png
Квадрат
p4m, (*442)
Четырёхугольник
p4g, (4*2)
Прямоугольник
pmm, (*2222)
Параллелограмм
p2, (2222)
Параллелограмм
pmg, (22*)
Ромб
cmm, (2*22)
Ромб
pmg, (22*)
Isohedral tiling p4-52b.png Isohedral tiling p4-52.png Isohedral tiling p4-46.png Isohedral tiling p4-53.png Isohedral tiling p4-47.png Isohedral tiling p4-43.png
Трапеция
cmm, (2*22)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Дельтоид
pmg, (22*)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Четырёхугольник
p2, (2222)
Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру
Isohedral tiling p3-7.png Isohedral tiling p3-4.png Isohedral tiling p3-5.png Isohedral tiling p3-3.png Isohedral tiling p3-6.png Isohedral tiling p3-2.png
Равнобедренный
pmg, (22*)
Равнобедренный
pgg, (22×)
Неравносторонний
pgg, (22×)
Неравносторонний
p2, (2222)

Упаковка кругов[править | править код]

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

Square tiling circle packing.png Rectified square tiling circle packing.png Expanded square tiling circle packing.png Translational square tiling circle packing.png

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники[править | править код]

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].

Самодвойственные Двойственные
Complex apeirogon 4-4-4.png Complex apeirogon 2-8-4.png Complex apeirogon 4-8-2.png
4{4}4 или CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel 4node.png 2{8}4 или CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel 4node.png 4{8}2 или CDel 4node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Голомб, 1975, с. 147.
  2. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
  3. Critchlow, 1987, с. 74—75.
  4. Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]