Прямое произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Прямо́е, или дека́ртово произведе́ние двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввел Георг Кантор[1] [2].

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и так далее), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Прямое произведение в теории множеств[править | править код]

Произведение двух множеств[править | править код]

               
в в в в в в в в
и и и и и и и и
к к к к к к к к
Произведение множества {в, и, к}
на множество цветов радуги

Пусть даны два множества и . Прямое произведение множества и множества есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных и . Упорядоченную пару, образованную из элементов и , принято записывать, используя круглые скобки: . Элемент называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент второй координатой (компонентой) пары.

Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.

Слово «упорядоченная» значит, что для , . Так, пары и равны в том и только том случае, если и .

Важность «порядка» можно показать на примере обычной записи чисел: используя две цифры 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.

В упорядоченной паре может быть, что . Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Отображения произведения множеств в его множители — и  — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Комментарии[править | править код]

Строго говоря, тождество ассоциативности не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия (биекции) между множествами и этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень[править | править код]

000 001 002 010 011 012 020 021 022
100 101 102 110 111 112 120 121 122
200 201 202 210 211 212 220 221 222
{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов

-я декартова степень множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное декартово произведение на себя[3] [4]:

Обычно обозначается как или .

При положительных декартова степень состоит из всех упорядоченных наборов элементов из длины . Так, вещественное пространство — множество кортежей из трех вещественных чисел — есть 3-я степень множества вещественных чисел

При , декартова степень по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств[править | править код]

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу элемент множества :

Отображения называются проекциями, и определяются следующим образом: .

В частности, для конечного семейства множеств любая функция с условием эквивалентна некоторому кортежу длины , составленному из элементов множеств , так, что на -ом месте кортежа стоит элемент множества . Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств может быть записано так:

Теоретико-множественные операции с прямыми произведениями[править | править код]

Пусть заданы прямые произведения и . Тогда

  1. , если и только если для всех [5];
  2. , при этом, если существует хотя бы один , такой что , то [5];
  3. , при этом равенство возможно лишь в следующих случаях[6]:

- или ;

- для всех за исключением одного из .

4. Дополнение прямого произведения можно вычислить[7], если задан универсум . Для упрощения выражений введем следующие обозначения . Обозначим прямое произведение в виде ограниченного прямыми скобками кортежа, в котором располагаются множества, из которых сформировано прямое произведение, например:

.

С учетом этого объединение прямых произведений, заданных в одном и том же универсуме, можно выразить в виде матрицы, ограниченной прямыми скобками, в которой строки представляют прямые произведения, участвующие в объединении:

.

Тогда дополнением прямого произведения будет следующее объединение прямых произведений:

, у которых диагональные компоненты .

Прямое произведение отображений[править | править код]

Пусть  — отображение из в , а  — отображение из в . Их прямым произведением называется отображение из в : .

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры[править | править код]

Прямое произведение групп[править | править код]

Прямое (декартово) произведение двух групп и  — это группа из всех пар элементов с операцией покомпонентного умножения: . Эта группа обозначается как . Ассоциативность операции умножения в группе следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители и изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, и соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, , где и . (Операция в правой части — это операция группы ). Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: . Например, для счётного числа групп: , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех , носитель которых (то есть множество ) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Декартово произведение индексированной системы групп есть её прямое произведение в категории Grp.

Прямая сумма индексированной системы групп есть её копроизведение в категории Grp.

Прямое произведение других алгебраических структур[править | править код]

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий есть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (так называемых финитных последовательностей).

Прямое произведение векторных пространств[править | править код]

Декартово произведение двух векторных пространств и над общим полем — это множество упорядоченных пар векторов , то есть теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов из и , с линейностью, заданной покоординатно: , .

Данное определение распространяется на любую индексированную систему линейных (векторных) пространств: декартовым произведением индексированной системы векторных пространств над общим полем является теоретико­‑множественное декартово произведение множеств векторов сомножителей, на котором задана покоординатная линейность, то есть при суммировании суммируются все проекции, при умножении на число все проекции умножаются на это число: , .

Декартово произведение индексированной системы линейных пространств есть её прямое произведение в категории , где есть подлежащее поле системы.

Прямая сумма векторных пространств есть такое подмножество их декартова произведения, элементы которого имеют лишь конечное число отличных от нуля проекций , где есть индексное множество индексированной системы . Для конечного числа слагаемых прямая сумма не отличается от декартова произведения.

Прямая сумма индексированной системы линейных пространств есть её копроизведение в категории , где есть подлежащее поле системы.

Прямое произведение топологических пространств[править | править код]

Пусть и  — два топологических пространства. Топология декартова произведения задаётся на их теоретико­‑множественном произведении, как бесструктурных множеств, базой, состоящей из всевозможных произведений , где  — открытое подмножество и  — открытое подмножество .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств.

Для произведения бесконечного набора сомножителей определение усложняется: пусть есть индексированная система топологических пространств,  — бесструктурное произведение элементов , как множеств. Определим цилиндр, восставленный над , как множество всех точек из , чьи ‑е проекции лежат в , т. е. , где и есть индексное множество индексированной системы . Топология произведения будет задана на предбазе из цилиндров, восставленных надо всеми открытыми множествами всех топологий из набора : , где есть совокупность всех отрытых множеств (топология) пространства , то есть задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров. Данная топология является «контрвариантно» наведённой проекторами — это минимальная топология на теоретико­‑множественном декартовом произведении, при которой все проекторы непрерывны (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество имеющим дискретную топологию).

Декартово произведение индексированной системы топологических пространств есть её прямое произведение в категории .

Прямая сумма топологий строится на бесструктурной прямой сумме пространств, как множеств точек. Открытыми в ней являются все множества, пересечения которых со всеми слагаемыми открыты. Данная топология является «ковариантно» наведённой копроекторами — это максимальная топология на теоретико­‑множественной прямой сумме, при которой все копроекторы (т. е. вложения слагаемых в сумму) непрерывны.

Прямая сумма индексированной системы топологических пространств есть её копроизведение в категории .

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов[править | править код]

  —
—
—

Множество вершин прямого произведения двух графов и задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

  • , где и  — соединённые ребром вершины графа , а  — произвольная вершина графа ;
  • , где  — произвольная вершина графа , а и  — соединённые ребром вершины графа .

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения[править | править код]

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов и  — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на и . Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Бурбаки, с. 307.
  2. Cantor, с. 286-287.
  3. Бурбаки, с. 115.
  4. Эдельман, 1975, с. 10.
  5. 1 2 Бурбаки, с. 117.
  6. Кулик, с. 77.
  7. Кулик, с. 83.

Литература[править | править код]