Критерий Эйзенштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — многочлен над факториальным кольцом R (), и для некоторого неприводимого элемента выполняются следующие условия:

  • (то есть не делится на ),
  • для любого i от 0 до n-1,
  • .

Тогда многочлен неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел , а F — поле рациональных чисел .

Доказательство[править | править вики-текст]

Предположим обратное: , где и многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

По условию и R факториально, поэтому либо либо , но не то и другое вместе ввиду того, что . Пусть и . Все коэффициенты не могут делиться на , так как иначе бы это было бы верно для . Пусть  — минимальный индекс, для которого не делится на . Отсюда следует:

Так как и для всех то , но это невозможно, так как по условию и . Теорема доказана.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Многочлен неприводим над
  • Многочлен деления круга неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен , а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на , так как , а последний коэффициент к тому же не делится на то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
  • Многочлен над является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это , но 4 делится на  — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.