Лемма Веррьера

Лемма Веррьера (точки C₁,I,A₁ лежат на одной прямой)

Лемма Веррьера — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами описанной и полувписанной окружностей треугольника.

Формулировка

Если окружность ω касается сторон AB,BC и дуги AC описанной окружности треугольника ABC, соответственно в точках C₁,A₁,B₁, то точки C₁,I,A₁,где I — инцентр треугольника ABC, коллинеарны.

Доказательство

Доказательство леммы Веррьера

Заметим, что по лемме Архимеда прямая B₁A₁ проходит через середину дуги BC описанной окружности, не содержащей точку A . Аналогично, прямая B₁C₁ проходит через середину дуги AB, не содержащей вершину C. Обозначим середины этих дуг через A₀, C₀ соответственно. Из той же леммы Архимеда следует, что A₀B² = A₀A₁ · A₀B1. Следовательно, степень точки A₀ одинакова относительно окружности ω и точки B. Аналогичное утверждение верно и для точки C₀. Из этого следует, что прямая A₀C₀ — радикальная ось точки B и окружности ω. Поэтому прямая A₀C₀ проходит через середины отрезков BA₁,BC₁. Значит, прямая A₀C₀ содержит среднюю линию FE треугольника C₁BA₁. Следовательно, образ точки B, при отражении точки B относительно прямой A₀C₀, лежит на прямой A₁C₁.

С другой стороны, по лемме о трезубце IC₀ = BC₀ и IA₀ = BA₀. Поэтому точка B при отражении относительно прямой A₀C₀ переходит в точку I. Откуда и следует, что точка I лежит на прямой A₁C₁.

Замечание

Окружность ω называют полувписанной окружностью треугольника ABC

Примечания

1. П. А. Кожевников «Полувписанная» окружность https://geometry.ru/persons/kozhevnikov/poluvpis.pdf
2. Экзаменационная работа А. Гаркового по геометрии на тему «Полувписанная окружность» https://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works/garkavyi.pdf