Лемма о трезубце

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь французского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

Формулировка[править | править код]

Лемма о трезубце.
Лемма о трилистнике.
Лемма Мансиона.

Пусть у треугольника точка  — центр вписанной окружности, точка  — центр вневписанной окружности, противоположной вершине , а точка  — точка пересечения отрезка с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка равноудалена от , , и .

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

  • Теорема Мансиона[1]: равноудалена от и .
  • Лемма о трилистнике[2], или лемма о трезубце[3], или лемма Мансиона[4]: равноудалена от , и .
  • Лемма о трезубце[5]: равноудалена от , , и .

Другой вариант задания точки  — как центра дуги описанной окружности, не содержащей точки [4].

Доказательство[править | править код]

Вики лемма о трезубце 777.png

Под будем понимать углы соответственно. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги , отрезок является биссектрисой угла . Проведя отрезок , заметим, что

потому что внешний к треугольнику , а также

потому что и равны, так как опираются на одну дугу .

Значит, треугольник равнобедренный, т.е, Равенство следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол Таким образом,

Вики лемма о трезубце ручка.png

Мы показали, что . Теперь докажем что «ручка» трезубца равна этой же величине.

Продлим сторону за точку и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку . Под будем понимать под будем иметь в виду угол

Тогда нам нужно понять, что треугольник равнобедренный, то есть, что .

С одной стороны,

и

так как внешний в треугольнике : т.е,

Вариации и обобщения[править | править код]

Внешняя лемма о трезубце

Связь с окружностью Эйлера[править | править код]

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники , , вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы (рис 2).

рисунок 1
рисунок 2

Из этого следует, что  — биссектриса в треугольнике . По совершенно аналогичным причинам и тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что  — внешние биссектрисы к треугольнику (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

рисунок 3
рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

рисунок 5

Получим, что середины сторон лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание[править | править код]

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника c тупым углом , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник с ортоцентром , и применить к нему те же рассуждения.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Задача 52395 // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»
  2. Р. К. Гордин. Теоремы и задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни. — 3-е изд. — МЦНМО, 2018. — С. 43. — ISBN 978-5-4439-2681-0.
  3. Акопян А. В. Геометрия в картинках.
  4. 1 2 Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина. — Математика в школе, 2006. — № 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.
  5. Р. Н. Карасёв. Задачи для школьного математического кружка / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4.