Лемма о трезубце
Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.
Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.
Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).
Формулировка
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5129.png/220px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5129.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B50.png/220px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B50.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B00.png/220px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B00.png)
Пусть у треугольника точка — центр вписанной окружности, точка — центр вневписанной окружности, противоположной вершине , а точка — точка пересечения отрезка с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка равноудалена от , , и .
Частные варианты этого утверждения носят различные названия
- Теорема Мансиона[1]: равноудалена от и .
- Лемма о трилистнике[2], или лемма о трезубце[3], или лемма Мансиона[4]: равноудалена от , и .
- Лемма о трезубце[5]: равноудалена от , , и .
Другой вариант задания точки — как центра дуги описанной окружности, не содержащей точки [4].
Доказательство
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5_777.png/283px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5_777.png)
Под будем понимать углы соответственно. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги , отрезок является биссектрисой угла . Проведя отрезок , заметим, что
потому что внешний к треугольнику , а также
- потому что и равны, так как опираются на одну дугу .
Значит, треугольник равнобедренный, т.е, Равенство следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол Таким образом,
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5_%D1%80%D1%83%D1%87%D0%BA%D0%B0.png/282px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D1%86%D0%B5_%D1%80%D1%83%D1%87%D0%BA%D0%B0.png)
Мы показали, что . Теперь докажем что «ручка» трезубца равна этой же величине.
Продлим сторону за точку и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку . Под будем понимать под будем иметь в виду угол
Тогда нам нужно понять, что треугольник равнобедренный, то есть, что .
С одной стороны,
и
- так как внешний в треугольнике : т.е,
Вариации и обобщения
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.png/530px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.png)
- Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)
Связь с окружностью Эйлера
[править | править код]Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники , , вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы (рис 2).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0.png/449px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B02.png/447px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B02.png)
Из этого следует, что — биссектриса в треугольнике . По совершенно аналогичным причинам и тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что — внешние биссектрисы к треугольнику (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B03.png/422px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B03.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B06.png/496px-%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%B1%D0%B5%D1%86_%D0%BE%D0%BA%D1%80_%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B06.png)
Из этого получим, что середины отрезков лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Triple_5.png/348px-Triple_5.png)
Получим, что середины сторон лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.
Замечание
[править | править код]Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника c тупым углом , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник с ортоцентром , и применить к нему те же рассуждения.
См. также
[править | править код]- Формула Эйлера
- Теорема Мансиона
- Вписанная окружность
- Вневписанная окружность
- Инцентр
- Окружность
- Описанная окружность
- Конфигурация Джонсона
- Теорема Фусса
Примечания
[править | править код]- ↑ Задача 52395 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»
- ↑ Р. К. Гордин. Теоремы и задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни. — 3-е изд. — МЦНМО, 2018. — С. 43. — ISBN 978-5-4439-2681-0.
- ↑ Акопян А. В. Геометрия в картинках. Архивировано 2 июня 2019 года.
- ↑ 1 2 Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина. — Математика в школе, 2006. — № 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358. Архивировано 10 июля 2019 года.
- ↑ Р. Н. Карасёв. Задачи для школьного математического кружка / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4. Архивировано 12 декабря 2021 года.
Для улучшения этой статьи желательно:
|