Матрица смежности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.

Определение[править | править код]

Матрица смежности графа с конечным числом вершин (пронумерованных числами от 1 до ) — это квадратная целочисленная матрица размера , в которой значение элемента равно числу рёбер из -й вершины графа в -ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из -й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг -й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных рёбер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Матрица смежности двудольного графа[править | править код]

Матрица смежности двудольного графа, доли которого имеют и вершин, может быть записана в следующем виде

где является матрицей, а и представляют и нулевые матрицы. В этом случае меньшая матрица единственным образом представляет граф, а оставшиеся части матрицы можно отбросить. иногда называется матрицей бисмежности.

Формально, пусть будет двудольным графом с долями и . Бисопряжённая матрица является 0–1 матрицей , в которой тогда и только тогда, когда .

Если является двудольным мультиграфом или взвешенным графом, то элементами будет число рёбер между вершинами или веса рёбер соответственно.

Примеры[править | править код]

  • Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности . Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.
Граф Матрица смежности
6n-graph2.svg
  • — число рёбер, связывающих вершины и , причём в некоторых приложениях каждая петля (ребро при некотором ) учитывается дважды.
  • Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Свойства[править | править код]

Матрица смежности неориентированного графа симметрична, а значит обладает действительными собственными значениями и ортогональным базисом из собственных векторов. Набор её собственных значений называется спектром графа, и является основным предметом изучения спектральной теории графов.

Два графа и с матрицами смежности и являются изоморфными тогда и только тогда, когда существует перестановочная матрица , такая что

.

Из этого следует, что матрицы и подобны, а значит имеют равные наборы собственных значений, определители и характеристические многочлены. Однако обратное утверждение не всегда верно — два графа с подобными матрицами смежности могут быть неизоморфны (это бывает в случае, если матрица не является перестановочной, например, матрицы и являются подобными, но соответствующие им графы не изоморфны).

Степени матрицы[править | править код]

Если — матрица смежности графа , то матрица обладает следующим свойством: элемент в -й строке, -м столбце равен числу путей из -й вершины в -ю, состоящих из ровно ребер.

Структура данных[править | править код]

Матрица смежности и списки смежности являются основными структурами данных, которые используются для представления графов в компьютерных программах.

Использование матрицы смежности предпочтительно только в случае неразреженных графов, с большим числом рёбер, так как она требует хранения по одному биту данных для каждого элемента. Если граф разрежён, то большая часть памяти напрасно будет тратиться на хранение нулей, зато в случае неразреженных графов матрица смежности достаточно компактно представляет граф в памяти, используя примерно бит памяти, что может быть на порядок лучше списков смежности.

В алгоритмах, работающих со взвешенными графами (например, в алгоритме Флойда-Уоршелла), элементы матрицы смежности вместо чисел 0 и 1, указывающих на присутствие или отсутствие ребра, часто содержат веса самих рёбер. При этом на место отсутствующих рёбер ставят некоторое специальное граничное значение (англ. sentinel), зависящее от решаемой задачи, обычно 0 или .

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]