Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $A$, что $\forall i,j:a_{ij}=a_{ji}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

$A=A^{T}$

Примеры

${\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

$Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: $A=QDQ^{T}$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение $\lambda$, то она имеет диагональный вид: $A=\lambda E$, где $E$ — единичная матрица, в любом базисе.
• Для симметричной матрицы любая конгуэрентная матрица также является симметричной, т. е.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица $A$ размерностью $k\times k$ называется положительно определённой если $\forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \}$ выполняется $z^{T}Az>0.$
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.