Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $A$, что $\forall i,j: a_{ij}=a_{ji}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

$A = A^T$

Примеры

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

$Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: $A = QDQ^{T}$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение $\lambda$, то она имеет диагональный вид: $A = \lambda E$, где $E$ — единичная матрица, в любом базисе.

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица $A$ размерностью $k \times k$ называется положительно определённой если $\forall z \in R^{k}: z^{T}Az>0$.
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с изменением оператора сравнения в последнем неравенстве.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.