Симметричная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

  • из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
  • матрицу A можно привести к диагональному виду: , где ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а Dдиагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
  • Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид: , где единичная матрица, в любом базисе.
  • Для симметричной матрицы любая конгуэрентная матрица также является симметричной, т. е.

Положительно (отрицательно) определённые матрицы[править | править код]

Симметричная матрица размерностью называется положительно определённой если выполняется
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.