Симметричная матрица
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
Примеры[править | править код]
Свойства[править | править код]
Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:
- она имеет вещественные собственные значения
- её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:
- из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
- матрицу A можно привести к диагональному виду: , где — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
- Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид: , где — единичная матрица, в любом базисе.
Положительно (отрицательно) определённые матрицы[править | править код]
Симметричная матрица размерностью называется положительно определённой если выполняется
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.
![]() |
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |