Изоморфизм графов
В теории графов изоморфизмом графов и называется биекция между множествами вершин графов такая, что любые две вершины и графа смежны тогда и только тогда, когда вершины и смежны в графе . Здесь графы понимаются неориентированными и не имеющими весов вершин и ребер. В случае, если понятие изоморфизма применяется к ориентированным или взвешенным графам, накладываются дополнительные ограничения на сохранение ориентации дуг и значений весов. Если изоморфизм графов установлен, они называются изоморфными и обозначаются как .
Иногда биекция записывается в виде подстановки изоморфизма . Некоторые задачи обработки графов требуют не только проверки изоморфизма, но и выяснения его подстановки.
Отношение изоморфизма графов представляет собой отношение эквивалентности, определенное для графов, и позволяет произвести разбиение исходного класса всех графов на классы эквивалентности. Множество графов, изоморфных друг другу, называется классом изоморфизма графов[англ.], их число в зависимости от представляет собой последовательность A000088 в OEIS (1, 1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ...).
В случае, если биекция отображает граф сам на себя (графы и совпадают), она называется автоморфизмом графа .
Существуют также смежные задачи теории графов, такие как поиск изоморфного подграфа и поиск максимального общего изоморфного подграфа[англ.], принадлежащие к классу NP-полных. В смежных разделах математики существуют схожие проблемы, например изоморфизма проективных плоскостей и изоморфизма конечных групп, которые полиномиально сводятся к проблеме изоморфизма графов (возможность обратной полиномиальной сводимости в общем случае не доказана)[1].
Пример
[править | править код]Два графа, приведенные в примере, являются изоморфными.
Граф | Граф | Изоморфизм между графами и | Подстановка изоморфизма |
---|---|---|---|
|
Изоморфизм графов общего вида
[править | править код]Графы и являются изоморфными, если путём перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа удается получить матрицу смежности графа . Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от , что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику[2].
Теорема Уитни
[править | править код]Теорема Уитни об изоморфизме графов [3][4], сформулированная Хасслером Уитни в 1932 году, гласит, что два связных графа изоморфны, тогда и только тогда, когда их рёберные графы изоморфны, за исключением графов (полного графа из 3 вершин) и полного двудольного графа , которые не являются изоморфными, однако оба имеют граф в качестве рёберного графа. Теорема Уитни может быть обобщена для гиперграфов [5].
Инварианты
[править | править код]Существует набор числовых характеристик графов, называемых инвариантами, которые совпадают у изоморфных графов (совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием наличия изоморфизма)[6]. К ним относятся число вершин и число дуг/ребер графа G, упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор степеней вершин , упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор собственных чисел матрицы смежности графа (спектр графа), хроматическое число и др. Факт совпадения инвариантов обычно не несет информации о подстановке изоморфизма.
Инвариант называется полным, если совпадения инвариантов графов необходимо и достаточно для установления изоморфизма. Например, каждое из значений и (мини- и макси-код матрицы смежности) является полным инвариантом для графа с фиксированным числом вершин .
Различные инварианты имеют различную трудоемкость вычисления. В настоящее время полный инвариант графа, вычислимый за полиномиальное время, неизвестен, однако не доказано, что он не существует. Попытки его отыскания неоднократно предпринимались в 60-х — 80-х годах XX века, однако не увенчались успехом.
Модульное произведение Визинга
[править | править код]Модульное произведение графов , предложенное В. Г. Визингом, позволяет свести задачу проверки изоморфизма к задаче определения плотности графа , содержащего вершин. Если , , то граф содержит подграф, изоморфный графу .
Изоморфизм графов специального вида
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Вычислительная сложность
[править | править код]Хотя задача распознавания изоморфизма графов принадлежит классу NP, неизвестно, является ли она NP-полной или принадлежит классу P (при условии, что P ≠ NP). При этом задача поиска изоморфного подграфа в графе является NP-полной. Современные исследования направлены на разработку быстрых алгоритмов решения как общей задачи изоморфизма произвольных графов, так и графов специального вида.
Применения
[править | править код]На практике необходимость проверки изоморфизма графов возникает при решении задач хемоинформатики, математической (компьютерной) химии[7], автоматизации проектирования электронных схем (верификация различных представлений электронной схемы)[2], оптимизации программ (выделение общих подвыражений).
См. также
[править | править код]- Инвариант (математика)
- Открытые математические проблемы
- Задача поиска изоморфного подграфа
- Проблема поиска максимального общего изоморфного подграфа[англ.]
Ссылки
[править | править код]- Проблема изоморфизма графов Архивная копия от 18 мая 2015 на Wayback Machine // Курс видео-лекций И. Пономаренко
Примечания
[править | править код]- ↑ Пономаренко И. Н. Проблема изоморфизма графов: алгоритмические аспекты (записки к лекциям) Архивная копия от 22 июня 2018 на Wayback Machine
- ↑ 1 2 Курейчик В. М., Глушань В. М., Щербаков Л. И. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. — М.: Радио и связь, 1990. — 216 с.
- ↑ H. Whitney. Congruent graphs and the connectivity of graphs // Am. J. Math.. — 1932. — Т. 54. — С. 160-168. — doi:10.2307/2371086.
- ↑ Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. Архивировано 10 сентября 2011 года. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
- ↑ Dirk L. Vertigan, Geoffrey P. Whittle. A 2-Isomorphism Theorem for Hypergraphs // J. Comb. Theory, Ser. B. — 1997. — Т. 71, вып. 2. — С. 215-230. — doi:10.1006/jctb.1997.1789. Архивировано 28 февраля 2013 года.
- ↑ Зыков А. А. . Основы теории графов. — М.: Наука, 1986. — 384 с. — ISBN 978-5-9502-0057-1.
- ↑ Трофимов М. И., Смоленский Е. А. Применение индексов электроотрицательности органических молекул в задачах химической информатики // Известия Академии наук. Серия химическая. — 2005. — С. 2166—2176.