Маятник Капицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Одна из конструкций маятника Капицы: мотор приводит кривошип, который через шатун и рычаг передаёт вибрацию на перевёрнутый маятник.

Ма́ятником Капицы называется система, состоящая из грузика, прикрепленного к легкой нерастяжимой спице, которая крепится к вибрирующему подвесу. Маятник носит имя академика и нобелевского лауреата П. Л. Капицы, построившего в 1951 г. теорию для описания такой системы [1]. При неподвижной точке подвеса, модель описывает обычный математический маятник, для которого имеются два положения равновесия: в нижней точке и в верхней точке. При этом равновесие математического маятника в верхней точке является неустойчивым, и любое сколь угодно малое возмущение приводит к потере равновесия.

Удивительной особенностью маятника Капицы является то, что, вопреки интуиции, перевернутое (вертикальное) положение маятника может быть устойчивым в случае быстрых вибраций подвеса. Хотя такое наблюдение было сделано еще в 1908 г. А. Стефенсоном[2], в течение длительного времени не имелось математического объяснения причин такой устойчивости. П. Л. Капица экспериментально исследовал такой маятник, а также построил теорию динамической стабилизации, разделяя движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Работа П. Л. Капицы, опубликованная в 1951 году[1], открыла новое направление в физике — вибрационную механику. Метод П. Л. Капицы используется для описания колебательных процессов в атомной физике, физике плазмы, кибернетической физике. Эффективный потенциал, описывающий «медленную составляющую движения», описывается в томе «механика» курса теоретической физики Л. Д. Ландау[3].

Маятник Капицы интересен еще и тем, что в такой простой системе можно наблюдать параметрические резонансы, когда нижнее положение равновесия не является больше устойчивым и амплитуда малых отклонений маятника нарастает со временем[4]. Также, при большой амплитуде вынуждающих колебаний в системе могут реализовываться хаотические режимы, когда в сечении Пуанкаре наблюдаются странные аттракторы.

Обозначения[править | править вики-текст]

Схема маятника Капицы

Направим ось y вертикально вверх, а ось x горизонтально, так чтобы плоское движение маятника происходило в плоскости (xy). Введем обозначения:

  • \nu — частота вынуждающих вертикальных гармонических колебаний подвеса,
  • a — амплитуда вынуждающих колебаний,
  • \omega_0 = \sqrt{g/l} — собственная частота колебаний математического маятника,
  • g — ускорение свободного падения,
  • l — длина легкого стержня,
  • m — масса грузика.

Если угол между стержнем и осью y обозначить как \varphi, то зависимость координат грузика от времени запишется следующими формулами:

\begin{matrix}
\left\{
\begin{matrix}
x &=& l \sin \varphi\\
y &=& - l \cos \varphi - a \cos \nu t
\end{matrix} \right.
\end{matrix}

Энергия маятника[править | править вики-текст]

Потенциальная энергия маятника в поле тяжести задается положением грузика по вертикали как

\begin{matrix}
E_{POT} = - m g (l \cos \varphi + a \cos \nu t)\;.
\end{matrix}

В кинетической энергии помимо обычного слагаемого E_{KIN}=m l^2 \dot \varphi^2 /2, описывающего движение математического маятника, имеются дополнительные составляющие, вызванные вибрацией подвеса:

\begin{matrix}
E_{KIN}
= \frac{m l^2 }{2} \dot \varphi^2 + m a l \nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi)~\dot\varphi + \frac{m a^2 \nu^2}{2} \sin^2(\nu t)\;.
\end{matrix}

Полная энергия дается суммой кинетической и потенциальной энергий E = E_{KIN} + E_{POT}, а лагранжиан системы их разностью L = E_{KIN} - E_{POT}.

Для математического маятника полная энергия является сохраняющейся величиной, поэтому кинетическая энергия E_{KIN} и потенциальная энергия E_{POT} на графике их зависимости от времени t симметричны относительно горизонтальной прямой. Из теоремы вириала следует, что средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Поэтому горизонтальная прямая, относительно которой имеется симметрия E_{KIN} и E_{POT}, соответствует половине полной энергии.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для математического маятника

Если подвес колеблется, то полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия является более чувствительной к вынуждающим колебаниям, чем потенциальная. Потенциальная энергия E_{POT} = mgy ограничена как сверху, так и снизу -mg(l+a)<E_{POT}<mg(l+a), в то время как кинетическая энергия ограничена только снизу E_{KIN}\ge 0. При больших значениях частоты \nu, кинетическая энергия может быть много больше потенциальной.

Характерные зависимости потенциальной и кинетической энергий от времени для маятника Капицы

Уравнение движения[править | править вики-текст]

Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника \varphi от времени определяет положение грузика[5]:

\begin{matrix}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = \frac{\partial L}{\partial \varphi}\;.
\end{matrix}

Дифференциальное уравнение, описывающие эволюцию фазы маятника

\begin{matrix}
\ddot \varphi
= - (a~\nu^2\cos\nu t~ +g) \frac{\sin \varphi}{l}\;,
\end{matrix}

нелинейно из-за имеющегося в нем множителя \sin\varphi. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.

Положения равновесия[править | править вики-текст]

Колебания маятника Капицы в глобальном (нижнем) минимуме.

Модель маятника Капицы является более общей, чем модель математического маятника. Последняя получается в предельном случае a = 0. Фазовый портрет математического маятника хорошо известен. На координатной плоскости это просто окружность x^2+y^2 = l^2 = \mathrm{const}. Если в начальный момент времени энергия маятника была больше, чем максимум потенциальной энергии E > mgl, то траектория будет замкнутой и циклической. Если же энергия маятника была меньше E < mgl, то он будет совершать периодические колебания около единственной устойчивой точки равновесия с наименьшим значением потенциальной энергии x = 0,~y = -l. В случае математического маятника полная энергии системы не меняется.

Колебания маятника Капицы в в локальном (верхнем) минимуме.

В случае a \ne 0 система более не является замкнутой и ее полная энергия может изменяться. Если при этом, частота вынуждающих колебаний \nu много больше частоты собственных колебаний \omega_0, то такой случай можно проанализировать математически. Оказывается[1], что если ввести эффективный потенциал, в котором движется маятник (медленно относительно частоты \nu), то этот потенциал может иметь два локальных минимума — один, как и раньше в нижней точке (0,-l), а другой в верхней точке (0,l). То есть точка (0,l) абсолютно неустойчивого равновесия для математического маятника, может оказаться точкой устойчивого равновесия для маятника Капицы.

Фазовый портрет[править | править вики-текст]

Портрет системы в координатном пространстве для маятника Капицы при относительно небольшой амплитуде вынуждающих колебаний

Интересные фазовые портреты могут быть получены для значений параметров, недоступных для аналитического рассмотрения, например в случае большой амплитуды колебания подвеса a \approx l[6][7]. Если увеличить амплитуду вынуждающих колебаний до половины длины маятника a = l/2, то получится картина аналогичная той, которая изображена на рисунке.

Портрет системы в координатном пространстве для маятника Капицы при большой амплитуде вынуждающих колебаний

При дальнейшем увеличении амплитуды a (начиная от значения a = l), все внутреннее пространство начинает «замазываться» полностью, то есть, если ранее не все внутренние точки координатного пространства были доступны, то теперь система может побывать в любой точке. Очевидно, что дальнейшее увеличение длины a принципиально более не изменит картину.

Интересные факты[править | править вики-текст]

  • Как отмечал П. Л. Капица, маятниковые часы на вибрирующем основании всегда спешат.
  • В коридоре института физических проблем стояла работающая модель маятника Капицы, и любой желающий мог воочию убедиться, как при ее включении маятник поднимался и оставался в вертикальном положении.
  • Метод эффективного потенциала был разработан П. Л. Капицей во время работы над высокочастотным генератором «ниготроном», названным так по месту исследования у себя на даче на Николиной Горе. Для того чтобы не было проблем с «секретностью» при публикации метода, П. Л. Капица придумывает простую физическую модель, к которой был бы применим этот метод. Таким образом, появляются статьи[1] про маятник с вибрирующим подвесом.
  • П. Л. Капица предлагал решить задачу в измененном варианте поступающим к нему в аспирантуру. Требовалась отыскать условие устойчивости акробата на доске, положенной на цилиндр, лежащий на боку. Ожидаемый ответ был, что если акробат начинал быстро переступать ногами, то его положение становилось устойчивым.
  • При ходьбе устойчивость тела увеличивается в несколько раз по сравнению с устойчивостью при стоянии. Этот биомеханический феномен до настоящего времени не изучен. Существует гипотеза, которая объясняет устойчивость тела при ходьбе колебательными движениями центра голеностопного сустава. Тело человека представляется с позиции перевернутого маятника с центром в области голеностопных суставов, который приобретает устойчивость в вертикальном положении, если его центр совершает колебание вверх-вниз с достаточно высокой частотой (маятник Капицы).

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 Капица П. Л. «Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса» ЖЭТФ, т. 21, вып. 5. с. 588—597 (1951); Капица П. Л. «Маятник с вибрирующим подвесом», УФН, т. 44. Вып. 1. С. 7-20 (1951).
  2. A. Stephenson «On an induced stability» Phil. Mag. 15, 233 (1908)
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
  4. Бутиков Е. И. «Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы»), учебное пособие.
  5. Крайнов В. П. Избранные математические методы в теоретической физике. Издательство МФТИ (1996).
  6. Астрахарчик Г.Е и Астрахарчик Н. А. «Исследование маятника Капицы» (G.E. Astrakharchik, N.A. Astrakharchik «Numerical study of Kapitza pendulum») arXiv:1103.5981 (2011)
  7. Визуализация в реальном времени движений маятника Капицы доступна в интернете на сайтах http://www.myphysicslab.com/beta/Inverted-pendulum.html и http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Параметры маятника могут быть выбраны произвольно и вводятся вручную.