Мечта второкурсника (математическое тождество)

В математике мечта второкурсника или мечта софомора (англ. sophomore — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:

$\int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

История

Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств.

Доказательство

Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим $x^{x}$ как:

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}$.

Тогда

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$.

По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$.

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$. После этой замены границы интеграла преобразуются в $0<u<\infty$, что даёт нам:

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$.

По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$,

таким образом:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}$.

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.

Версии доказательств

Исходное доказательство, данное Бернулли и представленное в современном виде, отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$, но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.