Мечта второкурсника (математическое тождество)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике мечта второкурсника или мечта софомора (англ. sophomore — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:

Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)n = xn + yn. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств[1].

Доказательство

[править | править код]

Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим как:

.

Тогда

.

По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

.

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную . После этой замены границы интеграла преобразуются в , что даёт нам:

.

По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:

,

таким образом:

.

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.

Версии доказательств

[править | править код]

Исходное доказательство, данное Бернулли[2] и представленное в современном виде[3], отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла , но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.

Примечания

[править | править код]
  1. Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
  2. Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
  3. Dunham, William (2005), "3: The Bernoullis (Johann and )", The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46—51, ISBN 978-0-691-09565-3