Мечта второкурсника (математическое тождество)
В математике мечта второкурсника или мечта софомора (англ. sophomore — студент-второкурсник в США) — пара тождеств:
История
[править | править код]Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.
Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)n = xn + yn. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств[1].
Доказательство
[править | править код]Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.
Вначале, представим как:
.
Тогда
.
По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:
.
Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную . После этой замены границы интеграла преобразуются в , что даёт нам:
.
По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:
,
таким образом:
.
Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.
Версии доказательств
[править | править код]Исходное доказательство, данное Бернулли[2] и представленное в современном виде[3], отличается от приведённого выше в части расчёта интеграла , но в остальном идентично за исключением технических деталей. Вместо интегрирования путем подстановки, используя Гамма-функцию (которая на момент доказательства ещё не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям.
Примечания
[править | править код]- ↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
- ↑ Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
- ↑ Dunham, William (2005), "3: The Bernoullis (Johann and )", The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46—51, ISBN 978-0-691-09565-3