Методы интегрирования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование[править | править код]

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)[править | править код]

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида интегрируется следующим образом:

Пример: Найти

Решение: Пусть , тогда .

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

применяемая для вычисления интегралов вида

где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.


Интегрирование некоторых тригонометрических функций[править | править код]

Пусть требуется проинтегрировать выражение , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

  • если , то применяется подстановка [2];
  • если , то применяется подстановка [2];
  • если , то применяется подстановка [3].

Частный случай этого правила:

Выбор подстановки производится следующим образом:

  • если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
  • если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
  • если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку .

Пример: .

Решение: Пусть ; тогда и , где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома[править | править код]

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

где a, bдействительные числа, a m, n, pрациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

  • — целое число. Используется подстановка , — общий знаменатель дробей и ;
  • — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
  • — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].

Интегрирование по частям[править | править код]

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где  — многочлен -й степени.


Пример: Найти интеграл .

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что и , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем

Интегрирование рациональных дробей[править | править код]

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где  — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример:

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно

Тогда


Теперь легко вычислить исходный интеграл

Интегрирование элементарных функций[править | править код]

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
  2. 1 2 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
  3. См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
  4. P. Tchebichef (1853). «Sur l'intégration des différentielles irrationnelles». Journal de mathématiques pures et appliquées XVIII: 87-111.

Ссылки[править | править код]