Многообразие Илса — Кёйпера

Многообразием Илса — Кёйпера называется компактификация евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ сферой $S^{\frac {n}{2}}$, где n = 2, 4, 8, и 16.

• n = 2: многообразие Илса — Кёйпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb {R} P^{2}$.

Для $n\geq 4$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

• $n=4$: комплексной проективной плоскости $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$,
• $n=8$: кватернионной проективной плоскости $\mathbb {H} \mathrm {P} ^{2}$,
• n = 16: проективной плоскости Кэли $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$.

Многообразия Илса — Кёйпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.

Свойства

• Теорема Илса — Кёйпера. Пусть $M$ связное замкнутое многообразие размерности $n$ (не обязательно ориентируемое). Предположим, на $M$ существует функция Морса $f:M\to R$ класса гладкости $C^{3}$, которая имеет ровно три критические точки. Тогда $n=$2, 4, 8 или 16 и $M$ является многообразием Илса — Кёйпера.

• Теорема: Пусть $M^{n}$ компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение $F$. Предположим, что число $c$ центров слоения $F$ больше числа седел $s$. Тогда существуют ровно две возможности:
  • $c=s+2$, в этом случае $M^{n}$ гомеоморфно сфере $S^{n}$,
  • $c=s+1$, в этом случае $M^{n}$ является многообразием Илса — Кёйпера, причем $n=2,4,8$ и $16$.

См. также

• Кёйпер, Николас
• Теорема Риба о сфере
• Теория Морса