Компактификация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Определение[править | править вики-текст]

Формально компактификация пространства X определяется как пара (Y,\;f), где Y компактно, f:X \to Y вложение такое, что f(X) плотно в Y.

Примеры[править | править вики-текст]

Одноточечная компактификация[править | править вики-текст]

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть Y=X \cup \{\infty\} и открытыми множествами в Y считаются все открытые множества X, а также множества вида O \cup \{\infty\}, где O \subseteq X имеет компактное (в X) дополнение. f берётся как естественное вложение X в Y. (Y,\; f) тогда компактификация, причём Y хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \R \cup \{\infty\} с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
    • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с \R (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с \R \cup \{\infty\}.
    • Аналогично, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гомеоморфно n-мерной сфере.

Компактификация Стоуна — Чеха[править | править вики-текст]

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X можно ввести частичный порядок. Положим f_1 \leqslant f_2 для двух компактификаций f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, если существует непрерывное отображение g: Y_2 \to Y_1 такое, что g f_2 = f_1. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается \beta X. Для того, чтобы у пространства X существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло аксиоме отделимости T_{3\frac{1}{2}}, то есть было вполне регулярным.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».