Диффеоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение[править | править исходный текст]

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение f\colon M\to N гладкого многообразия M в гладкое многообразие N, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается C^\infty-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса C^k при любом натуральном k.

Примеры[править | править исходный текст]

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Если для M и N существует диффеоморфизм f\colon M\to N, то говорят, что M и N диффеоморфны. Из сказанного следует, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.
  • Множество диффеоморфизмов многообразия M в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов M и обозначаемую \operatorname{Diff}\,M.
  • Отображение f\colon M\to N назывется локальным диффеоморфизмом в точке x\in M если его сужение на некоторую окрестность точки x является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки y=f(x)\in N.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
    • Обратное неверно. Более того существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия.
  • Взаимно однозначное отображение f\colon M\to N является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда f — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.