Множество Витали

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta».

История[править | править исходный текст]

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.

Построение[править | править исходный текст]

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности \sim на отрезке [0,\;1]: x\sim y если разница x-y рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество E представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть E счётное число раз на все рациональные числа из интервала [-1,1], то объединение будет содержать весь отрезок [0,1], но при этом оно будет содержаться в отрезке [-1,2]. При этом «сдвинутые копии» множества E не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения \sim и E.

Предположим, что E измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.

  • Мера E равна нулю. Тогда мера интервала [0,1], как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
  • Мера E больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала [-1,2], в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.

Литература[править | править исходный текст]