Неравенство Клаузиуса

Неравенство Клаузиуса (1854): Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено (приведённое количество теплоты), неположительно.

$\circ \sum \limits _{i=1}^{N}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}\leq 0.$

Здесь знак $\circ$ обозначает круговой процесс. Подведённое количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) — для квазистатических процессов неравенство Клаузиуса обращается в равенство.

$\circ \sum \limits _{i=1}^{N}\left({{Q_{i}} \over {T_{i}}}\right)_{QuazistaticProcess}=0.$

Вывод

Частный случай: два тепловых резервуара

Пусть система $I$ сообщается с тепловыми резервуарами $R_{1}$ и $R_{2}$ температур $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй теореме Карно КПД цикла Карно — максимальный; для системы $I$ выполняется $1+{{Q_{2}} \over {Q_{1}}}\leq 1-{{T_{2}} \over {T_{1}}}$. Отсюда следует частный случай неравенства Клаузиуса:

${{Q_{1}} \over {T_{1}}}+{{Q_{2}} \over {T_{2}}}\leq 0.$

(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)

Общий случай: много тепловых резервуаров

Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур $T_{i}$ и получающую от них тепло $Q_{i}$. Система при этом совершает произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый. Вводится дополнительный Резервуар температуры $T_{0}$. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.

По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется

${{Q_{0i}} \over {T_{0}}}+{{Q'_{i}} \over {T_{i}}}=0\Rightarrow Q_{0}=\sum \limits _{i=1}^{n}{Q_{0i}}=-T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q'_{i}} \over {T_{i}}}.$

Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A

$Q'_{i}=-Q_{i}.$

Тогда

$Q_{0}=T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}.$

Это тепло отдаст резервуар температуры $T_{0}$, в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла $Q_{0}=T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}$ резервуаром температуры $T_{0}$ системе A и всем машинам Карно, причём глобально система теплоизолирована. Следовательно, по первому началу термодинамики, системой A и n машинами Карно совершена работа $Q_{0}=T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}$. В соответствии с формулировкой Томсона второго начала термодинамики эта работа не может быть положительной. Отсюда следует неравенство Клаузиуса в общем виде:

$\sum \limits _{i}^{}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}\leq 0.$

Следствия

Неравенство Клаузиуса позволяет ввести понятие энтропии.

Энтропия системы — функция её состояния, определённая с точностью до аддитивной константы. Разность энтропии в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.

${S_{\rm {2}}-S_{\rm {1}}=\int \limits _{{\rm {1}}\to {\rm {2}}}{{\delta Q} \over T}}.$

Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики

Закон неубывания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.