Несократимая дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике несократимая (приведённая) дробьобыкновенная дробь вида , которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты[1], то есть не имеют общих делителей, кроме . Например, дробь несократима, а можно сократить:

Обыкновенные дроби[править | править код]

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида где  — целое число, а  — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

Для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель[2] НОД Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

Вариации и обобщения[править | править код]

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида где — целые числа. Делителей единицы четыре: Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить[3], что дробь может быть сокращена до (уже несократимой)

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце[4]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида , где , — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.

Примечания[править | править код]

  1. Гусев, Мордкович, 2013, с. 29—30.
  2. Выгодский, 2006, с. 81—82.
  3. Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112—117.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]