Несократимая дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике несократимая (приведённая) дробьдробь, которую невозможно сократить. Иначе говоря, значение несократимой дроби не допускает более простое представление в виде дроби. В случае обыкновенных дробей под «более простым» понимается дробь, числитель которой цел, но как можно более близок к нулю (по абсолютной величине), а знаменатель натурален, но как можно более мал.

Обыкновенные дроби[править | править код]

Каждое рациональное число обладает только одним представлением в виде несократимой дроби

где p — целое число, а q — натуральное. Если разрешить знаменателям быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление

(то есть числитель и знаменатель несократимой дроби можно одновременно умножать на −1), но все остальные представления рационального числа в виде частного двух целых чисел будут сократимы.

Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Примеры[править | править код]

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

Для полуцелого числа n + 12 представлением в виде несократимой дроби является

Дробь несократима, так как 4 и 15 взаимно просты, хотя и числитель (4 = 2 × 2), и знаменатель (15 = 3 × 5) являются составными числами.

Левая часть равенства сократима, т.к. и 119, и 21 делятся на 7. Правая часть — несократимая дробь, т.к. числитель и знаменатель являются различными простыми числами.

Обобщение для произвольных колец[править | править код]

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для факториальных колец с заменой множества чисел {1, −1} на группу обратимых элементов кольца.

Над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное с точностью до обратимых элементов представление в виде несократимой дроби.

См. также[править | править код]