Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются нестабильности границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем (неустойчивость Крускала-Шварцшильда)

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности, является число Атвуда.

Аналитическое описание[править | править вики-текст]

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей . Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:

В дальнейшем компоненты скорости определяются как . Вполне очевидно, что равновесное решение () удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Эйлера, а давление имеет вид , где . Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

и динамическое условие

Условие непротекания верхней и нижней границ:

где - величина отклонения границы от невозмущённой, - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:

где - скорость роста (инкремент) возмущения, - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается :

а условие несжимаемости даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:

с граничными условиями:

Решение уравнения Лапласа для давления:

Константы определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при ):

.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв () наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

.

В тонких слоях ():

.

В природе[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
  • Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки[править | править вики-текст]