Обратная матрица Дразина

Дразина обратная матрица — обобщение понятия обратной матрицы, предложенное М.П.Дразиным.

Пусть A — квадратная матрица. Под индексом матрицы A понимают наименьшее неотрицательное целое k, такое, что rank (A^k+1) = rank(A^k). Матрица, обратная по Дразину для матрицы A — это единственная матрица A^D, удовлетворяющая условиям

$A^{k+1}A^{\text{D}}=A^{k},\quad A^{\text{D}}AA^{\text{D}}=A^{\text{D}},\quad AA^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.$

Эта матрица не является псевдообратной в классическом смысле, поскольку в общем случае $AA^{\text{D}}A\neq A$.

Свойства

• Если матрица A обратима и её обратная обозначена $A^{-1}$, то $A^{\text{D}}=A^{-1}$.
• Матрица, обратная по Дразину, инвариантна по отношению к сопряжению. Если $A^{\text{D}}$ — матрица, обратная по Дразину для матрицы $A$, то матрица $PA^{\text{D}}P^{-1}$ — обратная по Дразину для матрицы $PAP^{-1}$.
• Проектор P, определённый как матрица, такая, что P² = P, имеет индекс 1 (или 0), Для него матрица, обратная по Дразину, имеет вид P^D = P.
• Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига), то $A^{\text{D}}=0.$

Жорданова нормальная форма

Поскольку определение матрицы, обратной по Дразину, инвариантно относительно матричных сопряжений, записываемых как $A=PJP^{-1}$, где J — Жорданова нормальная форма, то $A^{\text{D}}=PJ^{\text{D}}P^{-1}$. Матрица, обратная по Дразину, таким образом отображает обратимые Жордановы клетки в им обратные, а нильпотентные Жордановы клетки — в нулевые.

Литература

• Drazin, M. P. (1958). "Pseudo-inverses in associative rings and semigroups". The American Mathematical Monthly. 65 (7): 506—514. doi:10.2307/2308576. JSTOR 2308576.
• Zheng, Bing; Bapat, R.B (2004). "Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation". Applied Mathematics and Computation. 155 (2): 407. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.

Ссылки

• Drazin inverse