Матрица сдвига

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, матрица сдвига (также сдвиговая матрица) это бинарная матрица с единицами только на наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиоганали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей. (i, j)-е компоненты матриц U и L имеют вид

где  — дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица

Очевидно, транспонированной нижне-сдвиговой матрицы является верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножая слева матрицу A на ниже-сдвиговую приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа на нижне-сдвиговую приводит к сдвигу влево. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Естественно, все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая n×n-матрица S в степени, равной её размерности n, равна нулевой матрице.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть L и U — n×n-матрицы сдвига нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матрицU и L (поэтому приведём их только для U):


Следующие свойства показывают как матрицы U и L связаны:

  • LT = U; UT = L
  • Ядра матриц U и L:
  • Спектр матриц U и L нулевой: . Алгебраическая кратность 0 равна n, а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы U имеет вид , а единственный собственный вектор матрицы L имеет вид .
  • Для LU и UL имеем:

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны, и имеют то же ранг, что U и L.

Примеры[править | править вики-текст]


Тогда:


Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.


См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual