Псевдообратная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице обозначается .

Впервые концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Элиакимом Муром[1] в 1920 году и Роджером Пенроузом[2] в 1955 году; утверждение о существовании и единственности для любой матрицы над действительными и комплексными числами псевдообратной матрицы носит название теоремы Мура — Пенроуза.

Обобщённое обращение (англ. generalized inverse) — псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как решение задачи наилучшей аппроксимации (по методу наименьших квадратов с предельным вариантом регуляризации) для соответствующей системы линейных уравнений[⇨]. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью сингулярного разложения матрицы.

Определение[править | править вики-текст]

называется псевдообратной матрицей для матрицы , если она удовлетворяет следующим критериям:

  1. ;
  2. ( является слабым обращением в мультипликативной полугруппе);
  3. (это означает, что  — эрмитова матрица);
  4. ( — тоже эрмитова матрица).

Здесь  — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел ).

Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных (регуляризация Тихонова):

,

где  — единичная матрица. Этот предел существует, даже если и не определены.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Псевдообращение инволютивно (то есть эта операция обратна самой себе):
    .
  • Псевдообращение коммутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением:
    ,
    ,
    .
  • Псевдообратное произведение матрицы на скаляр равно соответствующему произведению матрицы на обратное число :
    , для .
  • Если псевдообратная матрица для уже известна, она может быть использовано для вычисления :
    .
  • Аналогично, если матрица уже известна:
    .

Особые случаи[править | править вики-текст]

Если столбцы матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:

.

Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с . Отсюда следует что в этом случае  — левая обратная матрица для  : .

Если строки матрицы линейно независимы, тогда матрица обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:

.

Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел полагаем . Отсюда следует, что в этом случае  — правая обратная матрица для A: .

Если и столбцы, и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), то псевдообращение совпадает с обращением:

.

Если и таковы, что произведение определено и:

  • либо ,
  • либо ,
  • либо столбцы линейно независимы и строки линейно независимы,

тогда

.

Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что они рассматриваются как матрицы соответствующей размерности. Псевдообратный к скаляру  — ноль, если  — ноль, и обратный к в противном случае:

Псевдообратный для нулевого вектора — транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для ненулевого вектора — сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины:

Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных.

Происхождение[править | править вики-текст]

Если существует, то из равенства:

следует

что порождает понятие псевдообращения

.

Вычисление[править | править вики-текст]

Пусть  — ранг матрицы размера . Тогда может быть представлена как , где B — матрица размера с линейно независимыми столбцами и  — матрица размера с линейно независимыми строками. Тогда:

.

Если имеет полнострочный ранг, то есть , тогда в качестве может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до . Аналогично, если имеет полностолбцовый ранг, то есть, , то .

Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использовать сингулярное разложение.

Если  — сингулярное разложение , тогда . Для диагональной матрицы, такой как , псевдообратная получается из неё заменой каждого ненулевого элемента  на диагонали на обратный к нему, с последующим транспонированием самой матрицы.

Существуют оптимизированые подходы вычисления псевдообратной для блочных матриц.

Иногда объём расчетов по нахождению псевдообратной матрицы можно сократить, если известна псевдообратная для некоторой аналогичной матрицы. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

Применение[править | править вики-текст]

Псевдообращение тесно связано с методом наименьших квадратов (МНК) для системы линейных уравнений[3].

В этом методе задача решения данной системы заменяется задачей минимизации квадрата евклидовой нормы невязки . На практике МНК обычно используют когда исходная система несовместна, однако ниже мы рассмотрим случай когда эта система совместна.

Общее решение неоднородной системы представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы .

Лемма: Если существует, тогда общее решение всегда представимо как сумма псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

Доказательство:

.

Здесь вектор произвольный (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица . Переписав её в форме , приведём выражение к форме:

Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это , дающее минимальную евклидову норму для невязки. Следующий член даёт решение однородной системы , потому что  — оператор проектирования на образ оператора и, соответственно, — оператор проектирования на ядро оператора .

Литература[править | править вики-текст]

  1.   Э. Х. Мур (E. H. Moore): On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394—395 (1920) http://www.ams.org/bull/1920-26-09/S0002-9904-1920-03322-7/S0002-9904-1920-03322-7.pdf
  2.   Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406—413 (1955)
  3.   Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
  4.   Алберт А.: Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. перев. с англ. Москва, «Наука», 224 с.(1977)
  5.   Беклемишев Д. В.: Дополнительные главы линейной алгебры. Москва, Наука. (1983)