Обратная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы[править | править вики-текст]

  • , где обозначает определитель.
  • для любых двух квадратных обратимых матриц и .
  • , где обозначает транспонированную матрицу.
  • для любого коэффициента .
  • .
  • Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где  — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы[править | править вики-текст]

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы[править | править вики-текст]

Метод Гаусса—Жордана[править | править вики-текст]

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. (Внимание! Можно применять или преобразования по строкам или преобразование по столбщам. Но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.
.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — .

С помощью матрицы алгебраических дополнений[править | править вики-текст]

Матрица, обратная матрице , представима в виде

где  — присоединенная матрица;

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.

Использование LU/LUP-разложения[править | править вики-текст]

Матричное уравнение для обратной матрицы можно рассматривать как совокупность систем вида . Обозначим -ый столбец матрицы через ; тогда , ,поскольку -м столбцом матрицы является единичный вектор . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение . Пусть , . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида и . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D. получаем равенство .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы[править | править вики-текст]

Методы Шульца[править | править вики-текст]

Оценка погрешности[править | править вики-текст]

Выбор начального приближения[править | править вики-текст]

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры[править | править вики-текст]

Матрица 2х2[править | править вики-текст]

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)

Ссылки[править | править вики-текст]