Проектор (математика)
В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если . Такой оператор называют идемпотентным.
Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.
В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов имеем . Подпространства и — соответственно образ и ядро проектора , и обозначаются и .
В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .
Свойства проекционных операторов
[править | править код]- Пусть — тождественный оператор. Если — проектор, то тоже проектор, причём и .
- В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
- Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
- Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.
Комбинации проекторов
[править | править код]Пусть и — проекторы, заданные на векторном пространстве , и проецирующие на подпространства и соответственно. Тогда
- — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда .
- является проектором тогда и только тогда, когда . проецирует на подпространство .
- Если , то — проектор на подпространство .
Примеры
[править | править код]- Ортогональная проекция (см. ниже) точек пространства на плоскость задаётся матрицей
Действует на точки она следующим образом:
- Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:
Легко показать, что это действительно проектор:
Проекция, задаваемая , ортогональна, тогда и только тогда, когда .
Ортогональный проектор
[править | править код]Если пространство — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.
Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства и ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства .
Литература
[править | править код]- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
|