Проектор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
На этом рисунке преобразование является ортогональной проекцией на прямую .

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если . Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором, если и только если существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента имеем , а для любого элемента имеем . Подпространство называется образом, а  — ядром проектора .

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .

Свойства проекционных операторов[править | править вики-текст]

Комбинации проекторов[править | править вики-текст]

Пусть и проекторы заданные на пространстве и проецирующие на подпространства и соответственно. Тогда

  • — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда .
  • является проектором тогда и только тогда, когда . проецирует на подпространство .
  • Если , то  — проектор на подпространство .

Примеры[править | править вики-текст]

Действует на точки она следующим образом:

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

Легко показать, что это действительно проектор:


Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если .

Ортогональный проектор[править | править вики-текст]

Если пространство гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства U.

Литература[править | править вики-текст]