Обсуждение:Вещественное число

Untitled

Вещественное число берет обозначение$\mathbb {R}$ от французского Reelle.

Меня всегда интересовало: аксиоматическое определение через отношение порядка, подобное тому, что на этой странице — разве не суррогат для первокурсников, чтобы не грузить их топологическими пространствами и пополнениями? Ну ввели систему свойств, а как доказать, что существует объект, обладающий такими свойствами? Все равно нужно вводить R другим способом, а потом еще доказывать, что оно удовлетворяет первоначально заданным свойствам. Имхо такое определение неправильно, а правильнее — как пополнение Q (а Q как поле отношений над N, а N как в теории Цермело-Франкеля). Ну или дедекиндовы сечения (что вроде бы очень похоже).

А еще такой вопрос: в английской википедии такие замечательные математические статьи (конечно на мой субъективный взгляд), не лучше ли переводить? А если переводить, зачем вообще нужны русские версии — только для тех, кто не читает по-английски? --dozor 15:42, 17 Сен 2004 (UTC)

1) Вообще-то нужны разные уровни объяснения понятия, в том числе не только для первокурсников, но и для школьников. 2) Стопудово не все умеют или хотят читать по-английски, поверь. И это их право. Переводить же статьи с английского не возбраняется, будем очень рады если ты этим займёшься. MaxiMaxiMax 16:16, 17 Сен 2004 (UTC)

По поводу качества я не уверен, но количеством берёт..., основная проблемма что английская википедия замусорена лишними деталями (добавить легко а выкинуть лень). Но наверное нужно делать упор на школьников (которым учить английский лень). По поводу определения, это не суррогат для первокурсников, всё зависит от того что считать основным, одному нравятся вещественные числа, другому натуральные, но доказывать существование ни одних ни других никто не умеет Tosha

Что за чушь? Как это никто не умеет? Конструктивное построение поля вещественных чисел, разумеется, доказывает их существование. Натуральные числа тоже конструктивно строятся с помощью теории множеств. Целые с помощью натуральных, рациональные - с помощью целых, вещественные - с помощью рациональных. Кроме аксиом теории множеств никаких аксиом больше не требуется и всё строго определяется и доказывается. 94.229.98.4 16:23, 21 мая 2012 (UTC)

Бесконечные десятичные дроби

Замечание по поводу школьных заданий не соответствует энциклопедическому стилю, поэтому оно было удалено. В принципе, его можно привести к энциклопедическому виду, сославшись на конкретные школьные программы, но никакой пользы для статьи это не принесёт. --Kurochka 09:00, 28 мая 2006 (UTC)

На мой взгляд, в этом эамечании есть определённый смысл (типа определение для дураков, но более мягко). Я считаю его лучше оставить. --Тоша 12:33, 2 июня 2006 (UTC)

Вообще, это - одно из определений вещественных чисел, притом вполне корректных. Евгений 19:46, 11 февраля 2008 (UTC)

Действительные и вещественные числа

У меня вопрос почему в русском языке существуют оба названия? Являются ли они полными синонимами? Какое из этих двух слов применимо в ru:wikipedia. А то я использую слово "Действительные", хотя сама эта статья даёт redicret на вещественные. Alexsmail 14:05, 28 апреля 2007 (UTC)

Да это синонимы. Могу ошибаться но по-моему действителльное число --- это московский математический диалект, а вещественное число -- петержбургский. Мне (естественно) больше нравится второе.

Я искал по запросу в Гугле "вики действительные числа", но не нашёл ничего. Потом после 5-и минут узнал, что они имеют название "вещественные". По адресу в строке "http://ru.wikipedia.org/wiki/Действительное_число" я был перенаправлен на эту статью. Может создать отдельно статью "Действительное число", чтоб не было проблем с индексацией и поиском из внешних источников? (by D.Flyer: account, discuss) 22:18, 16 января 2008 (UTC)

По-моему это проблема гугла, к нам никакого отношения не имеет.--Тоша 05:23, 17 января 2008 (UTC)

Это - два названия одного и того же. Связано со следующим: в Петербурге (Ленинграде) школа математиков утверждала, что числа надо называть вещественными и комплЕксными (а кОмплексными бывают только обеды), в Москве же наоборот - числа действительные и кОмплексные. Проставил в статье ссылку. Евгений 19:47, 11 февраля 2008 (UTC)

Грани

Почему ссылка «Точной нижней гранью, или и́нфимумом» ведёт на «Точная верхняя грань». К тому же ещё падежи не согласованы... --85.192.129.18 15:49, 28 апреля 2007 (UTC)

Потому что в этой статье есть оба определения. Они очень похоже. А падежи можете подправить. Alexsmail 09:06, 29 апреля 2007 (UTC)

Дедекиндовы сечения

«Однако, деление наше не совершенное, и мы "потеряли" немного чисел между ними» - это пурга, или я чего-то не понимаю? То, что мощность множества вещественных чисел больше мощности множества рациональных, я понимаю, но разве из этого следует, что при сечении мы теряем "немного" чисел? Если вещественное число определяется через дедекиндово сечение, как же при дедекиндовом сечении могут потеряться числа? Очевидно, нельзя привести пример разных вечественных чисел, задающихся одним дедекиндовым сечением, так к чему это примечание о бесконечном их кол-ве и потерянных числах? --gul 14:15, 27 января 2008 (UTC)

Конечно ерунда была написана, наверно и сам мог подправить?--Тоша 19:41, 27 января 2008 (UTC)

Я не математик по специальности, а написание и правку специальных статей предпочитаю оставлять специалистам. Дилетанты иногда такого напрявят. :) Спасибо за исправление. --gul 22:17, 27 января 2008 (UTC)

Порядок

Возник серьёзный вопрос: в статье пишется "Вещественные числа R можно определить как полное упорядоченное поле". Насколько я помню, для полного порядка необходим принцип фундированности, которого на отношении "меньше либо равно" на поле вещественных чисел нет. Убираю слово "полное". Евгений 19:52, 11 февраля 2008 (UTC)

Один из пользователей верно дополнил: правильная классификация отношения "меньше либо равно" над полем вещественных чисел - отношение линейного порядка.

Москва vs СПб

В статье сейчас:

"Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные."

Мне всегда казалось что (в основном) наоборот. По крайней мере, когда я учился на физфаке в С-Петербурге, лекторы (почти) всегда говорили "действительные", насколько помню. Может быть, всё сложнее? Туманно вспоминается, что люди, учившиеся у нас же на матмехе, говорили, чуть ли не что им называли их то так, то так. Сергей Сашов 16:03, 28 декабря 2008 (UTC)

Статья существенное переработана

В планах: вынести один раздел в статью Аксиоматика вещественных чисел, написать другой раздел про сечения Дедекинда. Подробное изложение различных способов построения вещественных чисел вынес в отдельную статью.

Предлагаю всем желающим:

• высказывать свои критические соображения по поводу качества написанного
• добавлять внутренние ссылки
• дописывать недостающие разделы (вроде история становления вещественных чисел)

Во французском разделе соответствующая статья является избранной. Давайте приведем эту статью в порядок и в нашем разделе! Все-таки фундаментальное понятие. --Arkadius 16:00, 24 декабря 2009 (UTC)

Ну пока что, на мой скромный взгляд, статья не выглядит лучше, чем была до этого. Куда, например, вы дели леммы о связи вещественных чисел с рациональными? Они вроде бы важны. Shlakoblock 18:26, 25 декабря 2009 (UTC)

Леммы о связи с рациональными числами

Отвечаю на ваш вопрос о том, почему я убрал леммы о связи с рациональными числами. Дело в том, что эти леммы о плотности $\mathbb {Q}$ в $\mathbb {R}$ являются вспомогательными предложениями излагаемыми в курсах матанализа при некоторых (но не всех) способах построения теории вещественного числа. Кстати, поэтому они и называются леммами, а не теоремами и т. п. Поэтому я не посчитал нужным их убрать.

Поясню сказанное. Эти леммы доказываются при построении теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей, или с помощью сечений в области рациональных чисел. Они нужны чтобы ввести арифметические операции как непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например, сложение:

$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')$

При построении же теории вещественного числа с помощью фундаментальных последовательностей, а тем более с помощью аксиоматического метода, эти леммы совершенно не нужны.

Вместе с тем, я признаю, что эти леммы интересны сами по себе и их можно изложить в разделе «свойства вещественных чисел». Что я и собираюсь сейчас сделать. Если есть желание, можете дополнить написанное. --Arkadius 09:49, 7 января 2010 (UTC)

В этом отношении полностью с Вами согласен. Спасибо за понимание. Ещё есть замечание по поводу оформления раздела Вещественное число#Аксиоматический подход. Разреженные заголовки типа «Аксиомы поля» выглядят не то чтобы некрасиво, а просто как-то невикипедично. Не лучше ли их оформить как обычные заголовки Википедии? Shlakoblock 16:28, 7 января 2010 (UTC)

Пожалуй, Вы правы насчет заголовков: это действительно невикипедично. С другой стороны не хочется дробить единое определение вещественные чисел на несколько небольших подразделов: аксиомы поля, аксиомы порядка и т.п. Хотя может это и не так уж плохо? Я подумаю, как это лучше оформить. Спасибо за замечание.

Об объединении со статьей «Аксиоматика вещественных чисел»

Не согласен с тем, как было проведено объединение со статьей Аксиоматика вещественных чисел от 4 января 2010. Переделал.

Когда я ставил вопрос об объединении, в Википедия:К объединению/24 декабря 2009, я указал, что раздел Аксиоматика с основной статье Вещественное число УЖЕ НАПИСАН. Требовалось только удалить статью Аксиоматика. В частности, считаю ненужными следующие изменения:

1. К чему строчка об обозначении логического «и» $\land$? В старой статье Аксиоматика оно в самом деле использовалось, но в новой оно не встречается.
2. Для чего потребовалось переписать начало аксиом поля, где вводятся операции сложения и умножения? Все было четко написано, и незачем было что-либо менять. Также считаю неуместным здесь специально вводить подраздел Определения: это никакие не определения операций сложения и умножения, это часть единого определения — вещественных чисел, которое начинается со слов Определение. Множество $\mathbb {R}$ называется множеством вещественных чисел… и заканчивается с на аксиоме непрерывности включительно. Смотрите книгу Кудрявцева, или Зорича, или Гильберта (см. список литературы).
3. Комментарии к аксиоме непрерывности из старой статьи в данной статье не нужны. По аксиоме непрерывности и ее значении в построении матанализа написана подробная статья — Непрерывность множества вещественных чисел, на которую есть ссылка из данной статьи.
4. Также ненужны «выводы» о единственности нуля и обратного элемента. Тут либо надо излагать целую главу учебника, где из аксиом вещественных чисел выводятся все известные их свойства, либо ограничится замечанием о том, что это делается и дать ссылку на источник. Последнее и было сделано.

Все это я написал, чтобы было понятно, почему я, по существу, сделал откат к старой версии раздела Аксиоматика, аннулировав результаты «объединения» со статьей Аксиоматика вещественных чисел. Еще раз повторяю, что раздел Аксиоматика уже был написан, и не вставлять что-либо из старой статьи было излишним --Arkadius 14:58, 7 января 2010 (UTC)

Определение

Где простота?

Не легче ли сказать, что вещественное число - любое существующее число? 92.46.96.184 20:26, 4 апреля 2010.

Простите, а где оно существует? И в каком смысле существует, если в результате измерения мы никогда не сможем получить точное значение подавляющего большинства трансцендентных чисел? LGB 16:56, 4 апреля 2010 (UTC)

Сначала дайте определение "любому существующему числу" и докажите, что их множество существует и удовлетворяет аксиомам вещественных чисел. 94.229.98.4 16:29, 21 мая 2012 (UTC)

Бесконечности

в Определении всё хорошо (примеры и тп.), но почему не сказано главного - что сабж есть Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , что можно обнаружить только в недрах ниже...-/ ? --Tpyvvikky 10:26, 25 августа 2014 (UTC)

добавить бы ссылку

я посмотрел доказательство несчетности в том виде как здесь сейчас - не понятно, что хотят сказать. поискал гуглом - нашел более понятный вид: http://www.victort.addr.com/alumni/continuum.htm . --Qdinar 08:13, 21 ноября 2010 (UTC)

Пришёл сюда с тем же самым вопросом. Откуда взято это доказательство? То, что есть в источниках даже близко не похоже.__BurykinD 12:09, 14 марта 2011 (UTC)

Вы про 0 и 9 говорите? Зато это более правильно. Иначе берём число 0,9999..., отличающееся каждой цифрой от числа 1,0000... и получаем фигу. --infovarius 18:16, 14 марта 2011 (UTC)

Я про использование диагонального процесса прямо в теле доказательства несчётности вещественных чисел, вот так вот напролом. Кантор, по-моему, использовал его в доказательстве большей мощности множества отображений X на Y по сравнению с X. А для континуума потребовалось ещё много доп. шагов. Доказательство из статьи выглядит как-то даже пародийно.__BurykinD 20:01, 14 марта 2011 (UTC)

Кстати, по ссылке, предложенной Qdinar, популяризируется именно доказательство из статьи, но тоже без ссылок на АИ, зато рассматриваются и вполне обоснованные сомнения, сразу возникающие по поводу такого лобового штурма.__BurykinD 20:07, 14 марта 2011 (UTC)

Вот ещё наткнулся на ссылку. Правда, это уже наезд именно на самого Кантора, но говорил же Пуанкаре, что теория множеств - болезнь математики и выздоровление неизбежно :). От себя могу добавить лишь доказательство несчётности натурального ряда:

• Пусть все натуральные числа уже перенумерованы, причём десятичная запись любого из них кончается бесконечной чередой пробелов (тоесть пробел - ещё одна цифра). Теперь построим натуральное число D, которое мы не пронумеровали. Для этого выберем первую цифру, не совпадающую с первой цифрой первого числа, вторую - несовпадающую со второй цифрой второго числа, третью - не совпадающую с третьей цифрой третьего и т.п. Вместо пробела смело будем ставить любую "содержательную". Очевидно, что числа, которое мы запишем, нет в нашем списке. Значит натуральные числа не могли быть перенумерованы. Их несчётно много!!!)))))__BurykinD 21:50, 14 марта 2011 (UTC)

Не смешно. Натуральное число D, которое Вы запишите, бесконечно (или оканчивается бесконечным числом нулей, но такое число совершенно точно уже было в нашем списке). А все натуральные числа имеют конечную запись (ну или бесконечную, но оканчиваются на нули). Что касается источника доказательства, то вроде видел такое в Ильине. Вообще довольно популярное школьное доказательство. Очень простое и понятное. На какое вы предлагаете его заменить? Shlakoblock 16:23, 15 марта 2011 (UTC)

Я предлагаю идентифицировать источник и уже после этого определиться с его достоинствами и недостатками.__BurykinD 04:30, 16 марта 2011 (UTC)

Сделано. Добавил ссылку на Ильина. Автотитетнее некуда. Что будем делать дальше? Снимаем вопрос? Shlakoblock 16:11, 16 марта 2011 (UTC)

Конечно снимем :). Лучшего решения и не придумаешь. Спасибо.__BurykinD 16:47, 16 марта 2011 (UTC)

Аксиома Дедекинда и Аксиома Архимеда логически независимы

Аксиома Дедекинда и Аксиома Архимеда независимы. Поэтому заменять одну аксиому на другую неправильно. Правильно говорить о поле вещественных чисел как о дедекиндовом архимедовом поле. Можно указать, например, дедекиндово неархимедово поле.--213.87.134.117 03:41, 30 октября 2012 (UTC)Инт

Зависимы, нельзя. Если вы что-то мельком слышали о сюрреальных Конвея, то явно поняли всё превратно.

Зависимы. Аксиома Дедекинда эквивалентна аксиоме верхней грани эквивалентна аксиоме полноты, из любой из них выводится аксиома (принцип) Архимеда. Из аксиомы (принципа) Архимеда не всегда выводится аксиома полноты. Полное неархимедово поле можно указать, но архимедово неполное - нельзя. Поэтому "дедекиндово архимедовое" - это явно лишнее. 178.158.140.22 13:43, 17 июля 2014 (UTC)

"Полное неархимедово поле можно указать, но архимедово неполное - нельзя." - Вы ошиблись. Наоборот. Архимедово неполное поле построить можно (например, поле рациональных чисел), а вот полного неархимедова поля не существует. То есть, если упорядоченное поле полное, то оно архимедово. 46.37.196.70 09:56, 26 ноября 2014 (UTC)

А что вы скажете про поле гиперреальных чисел? LGB 11:57, 28 ноября 2014 (UTC)

Статьи Целая_часть / Дробная_часть

Есть две прекрасные статьи касающиеся вещественных чисел: Дробная часть и Целая часть, но не одной ссылке. В "См.Также" добавлять как-то не так. Подумайте над этим. 128.73.154.249 08:43, 27 октября 2014 (UTC)

Странная формулировка аксиомы непрерывности

На странице приведена странная формулировка аксиомы непрерывности. Из этой формулировки следует лишь то, что: если a < b, то найдётся е такое, что либо a < е < b, либо a ≤ е < b, либо a < е ≤ b - то есть из этого утверждения НЕ следует более сильное "если a < b, то найдётся е такое, что a < е < b", необходимое для определения множества вещественных чисел. Иначе, с чего можно быть уверенным (используя только лишь аксиоматический подход в определении вещественного числа), что для любых a < b, всегда найдётся е, такое что a < е < b"? На мой взгляд, в тексте кто-то случайно заменил строгое неравенство на нестрогое. Или использовался ненадёжный первоисточник.

То свойство, которое вы описали — это вовсе не аксиома непрерывности, это один из вариантов плотности в себе, не помню точно, как он называется в топологии. Кстати, вашему свойству удовлетворяет и поле рациональных чисел, которое не является непрерывным. Аксиома, приведенная в статье, взята в курсе Кудрявцева (см. сноску), она гораздо мощнее вашей, из неё вытекает полнота поля вещественных чисел, а, значит, и ваше утверждение. LGB (обс.) 15:34, 7 декабря 2017 (UTC)

Согласованность аксиом поля в некоторых статьях

Здравствуйте, уважаемые участники и читатели.

У меня возник вопрос по поводу аксиом поля в данной статье:

• Аксиома существования единицы отделена от аксиомы нетривиальности поля
• В то же время в статье Поле (алгебра) эти две аксиомы объединены в одну

Я считаю, что нам надо использовать одинаковые списки аксиом в обеих (а также других) статьях. А что вы думаете на это счёт?

Андрей Титов (обс.) 10:49, 8 декабря 2018 (UTC)

• Я бы скорее наоборот в статье о поле разделил бы эти аксиомы на две. Мне сейчас пришлось два раза прочитать, чтобы понять, что эта аксиома утверждает, что $e\neq 0$, несмотря на то, что я это ожидал. — Алексей Копылов 17:11, 8 декабря 2018 (UTC)