Целая часть

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа  — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры[править | править вики-текст]

Для целой части числа долгое время использовалось обозначение , введенное Гауссом[источник не указан 2568 дней]. Ни понятия функции потолок, ни специального обозначения для неё не существовало. В 1962 году Кеннет Айверсон предложил округления числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно [1].

В современной математике используются оба обозначения, и , однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[1]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением , однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:

Определения[править | править вики-текст]

Функция пол определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :

Функция потолок определяется как наименьшее целое, большее или равное :

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[2]

Свойства[править | править вики-текст]

Везде ниже обозначают вещественные числа, а  — целые.

Пол/потолок как функции вещественной переменной[править | править вики-текст]

Функции пол/потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

Пол/потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол/потолок разрывны во всех целочисленных точках, это разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом, функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пола и потолка[править | править вики-текст]

Для произвольного [3]

Для целого пол и потолок совпадают:

Если  — не целое, то потолок ровно на единицу выше пола:

Функции пола и потолка являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства[править | править вики-текст]

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [2]:

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение[править | править вики-текст]

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [4]:

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции[править | править вики-текст]

Имеет место следующее предложение:[5]

Пусть  — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

Тогда

всякий раз, когда определены .

В частности,

если и  — целые числа, и .

Пол/потолок: суммы[править | править вики-текст]

Если  — целые числа, , то [6]

Вообще, если  — произвольное вещественное число, а  — целое положительное, то

Имеет место более общее соотношение [7]:

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:

Разложимость в ряд[править | править вики-текст]

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

который расходится.

Применение[править | править вики-текст]

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа[править | править вики-текст]

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [8]

Округление[править | править вики-текст]

Ближайшее к целое число может быть определено по формуле

Бинарная операция mod[править | править вики-текст]

Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если  — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно

,

а остаток

Дробная часть[править | править вики-текст]

Дробная часть вещественного числа по определению равна

Количество целых точек промежутка[править | править вики-текст]

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

.

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [9].

(Через обозначена мощность множества ).

Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .

Теорема Рэлея о спектре[править | править вики-текст]

Пусть и  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [10]

Тогда в ряду чисел

каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

и ,

называемые последовательностями Бетти (англ.), образуют разбиение натурального ряда.[11]

В информатике[править | править вики-текст]

В языках программирования[править | править вики-текст]

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки[править | править вики-текст]

В TeXLaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  2. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  3. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  4. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  5. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  6. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  7. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  11. А. Баабабов «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.