Фредгольмов оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Оператор Фредгольма»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор называют фредгольмовым, если

  • ,
  • .

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Индекс фредгольмова оператора[править | править код]

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

Более того, для каждого конкретно заданного существует фредгольмов оператор с индексом n.

Преобразования фредгольмовых операторов[править | править код]

  • Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: . Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов:
  • Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть (теорема Аткинсона)
  • Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора:
  • Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть . Иначе говоря, множество является открытым в множестве ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма[править | править код]

 — фредгольмов (здесь  — тождественный оператор на X).

Критерии фредгольмовость[править | править код]

  • Критерий Нётера: T фредгольмов если, тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
  • Критерий Никольского: T фредгольмов тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: , где  — множество обратимых линейных операторов.

Литература[править | править код]

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..