Нётеров оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Оператор Фредгольма»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нётеровым оператором называется оператор, у которого и ядро, и коядро конечномерны.

Определение[править | править код]

Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор называют нётеровым, если

Нётеровость оператора обычно обозначают как . В конечномерных X,Y, например, любой линейный оператор является нётеровым.

Следует также отметить, что в силу своего определения, нётеров оператор всегда нормально разрешим.

Индекс нётерова оператора[править | править код]

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

Более того, для каждого конкретно заданного существует нётеров оператор с индексом n.

Фредгольмовы операторы[править | править код]

Оператор T называется фредгольмовым, если

Например, любой непрерывно обратимый линейный оператор обладает ядром и коядром нулевых размерностей и, таким образом, является фредгольмовым.

Данный класс нётеровых операторов обладает особыми свойствами, и поэтому часто рассматривается отдельно.

Другими словами, оператором Фредгольма называется оператор: с квадратично интегрируемым ядром : [1].

Преобразования нётеровых операторов[править | править код]

  • Сопряженный к нётерову оператору тоже нётеров: . Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов:
  • Композиция нётеровых операторов — нётеров оператор, а индекс его есть (теорема Аткинсона)
  • Компактное возмущение сохраняет нётеровость и индекс оператора:
  • Нётеровость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть . Иначе говоря, множество является открытым в множестве ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма[править | править код]

 — фредгольмов (здесь  — тождественный оператор на X).

Критерии нётеровости[править | править код]

  • Критерий Нётера: T нётеров если, тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
  • Критерий Никольского: T — фредгольмов тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: , где  — множество обратимых линейных операторов.

Примечания[править | править код]

  1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 217

Литература[править | править код]

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..