Ядро (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ядро в алгебре — характеристика отображения , обозначаемая , отражающая отличие от инъективного отображения, обычно — прообраз некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество всегда должно быть тривиально. Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .

Ядро линейного отображения[править | править вики-текст]

Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства :

.

является подпространством в . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ изоморфен фактору пространства по ядру :

.

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность конечна:

,

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

Теория матриц[править | править вики-текст]

Любую прямоугольную матрицу размера , содержащий элементы поля (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор умножения векторов слева на матрицу:

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с неизвестными

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора , а задача о решении однородной системы уравнений () сводится к поиску ядра отображения .

Пример[править | править вики-текст]

Пусть будет линейным отображением и:

Тогда его ядро является векторным подпространством:

Гомоморфизм групп[править | править вики-текст]

Если  — гомоморфизм между группами, то образует нормальную подгруппу .

Гомоморфизм колец[править | править вики-текст]

Если  — гомоморфизм между кольцами, то образует идеал кольца .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.