Парадокс кинетической энергии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Внутренний двигатель[править | править код]

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию . Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости . Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью . С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна и кинетическая энергия равна . Скорость игрушки после разгона равна и кинетическая энергия . Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на , что превышает запас энергии в пружине [1].

Объяснение парадокса[править | править код]

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение , где  — масса игрушки,  — скорость игрушки,  — масса Земли,  — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение . Выражая скорость Земли из уравнения и подставляя в уравнение , получим [1].

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью . После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение , где  — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение . Выразим скорость Земли из уравнения и подставим в предыдущее уравнение. Получим . После простых преобразований получим . То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины [2].

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю[2].

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны , кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта[3].

Внешняя сила[править | править код]

Рассмотрим тело массой движущееся со скоростью . Пусть на это тело в течение некоторого времени действует постоянная сила , направленная по той же прямой, что и скорость . Она изменяет скорость тела от значения до значения . В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно .

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью , направленной по той же прямой, что и скорость . В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно , то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея[4].

Объяснение парадокса[править | править код]

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение . Здесь  — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с до . Так как тело движется с ускорением , то .

Во второй системе . Здесь  — длина пути, пройденного телом во второй системе . Итак, . Так как , то . Таким образом .

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен[4].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Бутиков, 1989, с. 73.
  2. 1 2 Бутиков, 1989, с. 74.
  3. Бутиков, 1989, с. 75.
  4. 1 2 Шаскольская М. П., Эльцин И. А. Сборник избранных задач по физике. — М., Наука, 1986. — c. 24, 111

Литература[править | править код]