Поверхность Цолля
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Поверхность Цолля — 2-мерная сфера с римановой метрикой, для которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину.
Названы в честь ученика Давида Гильберта Отто Цолля, обнаружившего первые нетривиальные примеры.[1]
Примеры[править | править код]
Обычная сфера, очевидно, является поверхностью Цолля, но им обладает также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:[2]
- Пусть есть нечётной гладкая функция, такая, что . Тогда сфера с метрикой
- заданной в полярных координатах есть поверхность Цолля.
Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.
Следующий результат даёт несимметричные примеры:[3]
- Для любой нечётной гладкой функции на единичной сфере существуют однопараметрическое семейство конформных факторов таких, что есть поверхность Цолля и .
В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера.
См. также[править | править код]
Литература[править | править код]
- Вильгельм Бляшке «Круг и шар», М.: Наука, 1967
Примечания[править | править код]
- ↑ Zoll, Otto; Ueber Flächen mit Scharen geschlossener geodätischer Linien. Math. Ann. 57 (1903), no. 1, 108—133.
- ↑ Бессе, Артур. Многообразия с замкнутыми геодезическими = Manifolds all of whose Geodesics are Closed. — М.: Мир, 1981. — 320 с. — 5200 экз.
- ↑ Guillemin, V.: "The Radon transform on Zoll surfaces". Advances in Mathematics 22 (1976), 85–119.