Подпространство Крылова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности m, порождённым вектором v \in \mathbb{C}^n и матрицей A\in \mathbb{C}^{n \times n}, называется линейное пространство

\mathcal{K}_m (v,A) = \operatorname{span} \{ v, Av, A^2 v, ..., A^{m-1} v \}.

Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: ~ \mathcal{K}_m \subset \mathbb{C}^n.

Такие пространства были названы в честь русского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.

Размерность подпространства Крылова[править | править исходный текст]

В силу конечномерности пространства ~ \mathbb{C}^{n} найдётся такое p\;(0\le p \le n), что векторы ~ v,\; Av,\; A^2 v,\; ...,\; A^{p-1} v линейно-независимы, а ~A^p v есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ~ \gamma_1,\;\gamma_2,\;...,\;\gamma_p:

~ A^p v=- \gamma_1 A^{p-1} v - \gamma_2 A^{p-2} v-...- \gamma_p v

Составим полином \varphi (\lambda)=\lambda^p + \gamma_1 \lambda^{p-1} + \gamma_2 \lambda^{p-2} +...+\gamma_p и получим:

~ \varphi (A)v=0.

Полином ~ \varphi (A) степени ~p является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.

Свойства подпространства Крылова[править | править исходный текст]

1. \mathcal{K}_p инвариантно относительно A и \mathcal{K}_m=\mathcal{K}_p для любого m \ge p.
2. dim(\mathcal{K}_m)=\min \{ m,p \}.

Методы Крыловского типа[править | править исходный текст]

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

\mathcal{K}_m (v,A) = \operatorname{span} \{ v_1, v_2, v_3, ..., v_m \} ,

где

v_1=v,\; v_2=Av_1,\; v_3=Av_2,\;...,\;v_m=Av_{m-1}.

Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем.. — 1931. — С. 26.
  • Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd edition. — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — С. 477. — ISBN 0898715342
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2е издание. — М.: Наука, 1966. — С. 576. — ISBN 5-9221-0524-8
  • Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — С. 70.

Примечания[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]