Полилогарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая и определяемая как бесконечный степенной ряд

где s и z — комплексные числа, причём . Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости
 
 
 
 
 
 
 

Частным случаем является , при котором . Функции и получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения[править | править код]

Polylogarithm plot negative.svg

Литература[править | править код]

  • Abel, N.H. Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II : []. — Christiania [Oslo] : Grøndahl & Søn, 1881. — P. 189–193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
  • Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun. — New York : Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.
  • Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S. (April 1997). “On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903—913. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Используется устаревший параметр |month= (справка)
  • Bailey, D.H. & Broadhurst, D.J. (June 20, 1999), "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder", arΧiv:math.CA/9906134 [math.CA] 
  • Jahnke, E. Tables of Functions with Formulae and Curves / E. Jahnke, F. Emde. — 4th. — New York : Dover Publications, 1945.
  • Jonquière, A. (1889). “Note sur la série (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France [фр.]. 17: 142—152.
  • Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. (1970). “On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation”. BIT. 10: 38—74. DOI:10.1007/BF01940890.
  • Kirillov, A.N. (1995). “Dilogarithm identities”. Progress of Theoretical Physics Supplement. 118: 61—142. arXiv:hep-th/9408113. DOI:10.1143/PTPS.118.61.
  • Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. — London : Macdonald, 1958.
  • Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. — New York : North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1.
  • Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. — Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1991. — Vol. 37. — ISBN 0-8218-1634-9.
  • Markman, B. (1965). “The Riemann Zeta Function”. BIT. 5: 138—141.
  • Maximon, L.C. (2003). “The Dilogarithm Function for Complex Argument” (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A. 459 (2039): 2807—2819. DOI:10.1098/rspa.2003.1156.
  • McDougall, J.; Stoner, E.C. (1938). “The computation of Fermi-Dirac functions”. Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. 237 (773): 67—104. DOI:10.1098/rsta.1938.0004.
  • Nielsen, N. (1909). “Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen”. Nova Acta Leopoldina [нем.]. Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121—212.
  • Prudnikov, A.P. Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions / A.P. Prudnikov, O.I. Marichev, Yu.A. Brychkov. — Newark, NJ : Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6. (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
  • Robinson, J.E. (1951). “Note on the Bose-Einstein integral functions”. Physical Review, Series 2. 83 (3): 678—679. DOI:10.1103/PhysRev.83.678.
  • Rogers, L.J. (1907). “On function sum theorems connected with the series ”. Proceedings of the London Mathematical Society (2). 4 (1): 169—189. DOI:10.1112/plms/s2-4.1.169.
  • Schrödinger, E. Statistical Thermodynamics. — 2nd. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1952.
  • Truesdell, C. (1945). “On a function which occurs in the theory of the structure of polymers”. Annals of Mathematics, Series 2. 46 (1): 144—157. DOI:10.2307/1969153. JSTOR 1969153.
  • Vepstas, L. (February 2007), "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions", arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA] 
  • Whittaker, E.T. A Course of Modern Analysis / E.T. Whittaker, G.N. Watson. — 4th. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1952.
  • Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Дата обращения 1 ноября 2005. Архивировано 14 мая 2012 года.
  • Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 12: 231–249, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press.  (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131-145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)
  • Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. — Berlin : Springer-Verlag, 2007. — P. 3–65. — ISBN 978-3-540-30307-7.

Ссылки[править | править код]