Потенциальная ступенька

Потенциальная энергия как функция координаты: сплошная линия — простейшая модель ступеньки со скачком потенциала, пунктирная — модель, имитирующая размытие.

Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы $U$, характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому ($V_{0}$). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией $E>V_{0}$ оказывается отличным от единицы.

Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок:

$U(x)=0$ при $x<0\quad$ и $\quad U(x)=V_{0}$ при $x>0$.

Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение

$U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a={\mbox{const}}>0$,

моделирующее монотонное возрастание от 0 на $-\infty$ до $V_{0}$ на $+\infty$.

Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии $U(x)=E_{c}(x)$ дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок $E_{c}$.

Модель скачкообразной ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)$ для $x>0$,

и то же самое без слагаемого с $V_{0}$ для $x<0$. Здесь $m$ — масса частицы, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, а $\Psi$ — волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных $x$. Далее все символы с цифрой 1 относятся к области $x<0$, а с цифрой 2 — к $x>0$.

Считая, что $E>V_{0}$, волновую функцию для областей 1 ($\Psi =\psi _{1}$) и 2 ($\Psi =\psi _{2}$) запишем как

$\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)$

$\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)$,

где

$k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}},\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$.

Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке $x=0$ получим

$1+r=t$

$i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2}$,

что даёт

$r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}$.

В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения:

$R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}}}\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}$.

Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а $T=1$ независимо от $E$.

Модель размытой ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром $a$: чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)$

Если обозначить $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ и $\lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2}}}$, то оно примет вид

$\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).$

Если сделать замену переменной

$y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a}}}},$

то, с учётом обозначения $\varkappa =ka$, приведётся к виду:

$y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y)}}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.$

Так как точки $y=0$ и $y=1$ являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

$\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).$

Если выбрать $\nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2}}}$ и $\mu =i\varkappa$, то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

$y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.$

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

$f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)$

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае $E<V_{0}$:

$R=1,\qquad T=0.$

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае $E>V_{0}$ с учётом обозначения $\sigma =i\nu$:

$R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )}}\right)^{2}$

В пределе $a\rightarrow 0$

$R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}$,

что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.