Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $0/0$ и $\infty /\infty$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Основной источник:

Теорема Лопиталя:

Если: $f(x),\,g(x)$ — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности $U$ точки $a$, где $a$ — действительное число или один из символов $+\infty ,-\infty ,\infty$, причём

1. $\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0$ или $\infty$;
2. $g'(x)\neq 0$ в $U$;
3. существует $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$;

тогда существует $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$.

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.

Примеры

• $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на $x$ в наибольшей степени(в нашем случае $x^{3}$). В этом примере получается:

  $\lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty$ — применение правила $a$ раз;
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty$ при $a>0$;
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

Контрпример

В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример:

отношение ${\frac {x+\sin(x)}{x}}$ имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Следствие

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в проколотой окрестности точки $a$, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной $\lim _{x\to a}f'(x)=A$. Тогда функция $f(x)$ дифференцируема и в самой точке $a$, и $f'(a)=A$ (то есть, производная $f'(x)$ непрерывна в точке $a$).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$.

См. также

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.