Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $0/0$ и $\infty/\infty$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Теорема Лопиталя:

Если:

1. $\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0$ или $\infty$;
2. $~f(x)$ и $~g(x)$ дифференцируемы в окрестности $a$;
3. $g'(x)\neq 0$ в окрестности $a$;
4. существует $\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$,

то существует $\lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$.

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида $\left(\frac{0}{0}\right)$).

Поскольку мы рассматриваем функции $f$ и $g$ только в правой проколотой полуокрестности точки $a$, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $f(a)=g(a)=0$. Возьмём некоторый $x$ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $[a,\;x]$ теорему Коши. По этой теореме получим:

$\exists c \in (a,x)\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$,

но $f(a)=g(a)=0$, поэтому $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $A$, из полученного равенства выводим:

$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0 : \forall x(0\le x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon)$ для конечного предела и

$\forall M > 0\, \exists \delta>0 : \forall x(0\le x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M)$ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Для начала докажем теорему для неопределённостей вида $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$.

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $A$. Тогда, при стремлении $x$ к $a$ справа, это отношение можно записать как $A+\alpha$, где $\alpha$ — O(1). Запишем это условие:

$\forall\varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\leqslant x-a<\delta_{1}\Rightarrow \left| \alpha(x)\right| <\varepsilon_{1})$.

Зафиксируем $t$ из отрезка $[a,\;a+\delta_1]$ и применим теорему Коши ко всем $x$ из отрезка $[a,\;t]$:

$\forall x\in [a;t]\ \exists c\in (a;\;x)\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$, что можно привести к следующему виду:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Для $x$, достаточно близких к $a$, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $f(t)$ и $g(t)$ — константы, а $f(x)$ и $g(x)$ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $1+\beta$, где $\beta$ — бесконечно малая функция при стремлении $x$ к $a$ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $\varepsilon$, что и в определении для $\alpha$:

$\forall \varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{2}>0\ : \forall x(0\leqslant x-a<\delta_{2}\Rightarrow \left| \beta(x) \right| <\varepsilon_{1})$.

Получили, что отношение функций представимо в виде $(1+\beta)(A+\alpha)$, и $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}$. По любому данному $\varepsilon$ можно найти такое $\varepsilon_{1}$, чтобы модуль разности отношения функций и $A$ был меньше $\varepsilon$, значит, предел отношения функций действительно равен $A$.

Если же предел $A$ бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

$\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\leqslant x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)$.

В определении $\beta$ будем брать $\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}$; первый множитель правой части будет больше $\frac12$ при $x$, достаточно близких к $a$, а тогда $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim\limits_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty$.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• $\lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}$

• $\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+8x+7} {3x^2+6x}= \lim_{x \to \infty}\frac{6x+8} {6x+6}= \frac{6} {6}=1$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае $x^3$). В этом примере получается:

  $\lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1$

• $\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty$ — применение правила $a$ раз;
• $\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty$ при $a>0$.

В искусстве

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».