Правило Лопиталя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка[править | править код]

Теорема Лопиталя:

Если:

  1. или ;
  2. и дифференцируемы в окрестности ;
  3. в окрестности ;
  4. существует ,

то существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История[править | править код]

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]

Примеры[править | править код]


  • Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:
  •  — применение правила раз;
  • при .

В искусстве[править | править код]

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

А также песня группы «Научно-технический рэп» — «Правило Лопиталя».

Примечания[править | править код]

  1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
  2. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216