Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $0/0$$0/0$ и $\infty /\infty$$\infty /\infty$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Теорема Лопиталя:

Если:

1. $\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0$$\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ или $\infty$$\infty$;
2. $f(x)$$f(x)$ и $g(x)$$g(x)$ дифференцируемы в окрестности $a$$a$;
3. $g'(x)\neq 0$$g'(x)\neq 0$ в окрестности $a$$a$;
4. существует $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$$\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$,

то существует $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$$\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида $\left({\frac {0}{0}}\right)$$\left({\frac {0}{0}}\right)$).

Поскольку мы рассматриваем функции $f$$f$ и $g$$g$ только в правой проколотой полуокрестности точки $a$$a$, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $f(a)=g(a)=0$$f(a)=g(a)=0$. Возьмём некоторый $x$$x$ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $[a,\;x]$$[a,\;x]$ теорему Коши. По этой теореме получим:

$\exists c\in (a,x)\!:{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$$\exists c\in (a,x)\!:{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$,

но $f(a)=g(a)=0$$f(a)=g(a)=0$, поэтому ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $A$$A$, из полученного равенства выводим:

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x\quad 0\leq x-a<\delta \Rightarrow \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-A\right|<\varepsilon$$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x\quad 0\leq x-a<\delta \Rightarrow \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-A\right|<\varepsilon$ для конечного предела и

$\forall M>0\,\exists \delta >0:\forall x\quad 0\leq x-a<\delta \Rightarrow \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>M$$\forall M>0\,\exists \delta >0:\forall x\quad 0\leq x-a<\delta \Rightarrow \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>M$ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Для начала докажем теорему для неопределённостей вида $\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)$$\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)$.

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $A$$A$. Тогда, при стремлении $x$$x$ к $a$$a$ справа, это отношение можно записать как $A+\alpha$$A+\alpha$, где $\alpha$$\alpha$ — O(1). Запишем это условие:

$\forall \varepsilon _{1}>0\,\exists \delta _{1}>0:\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{1}\Rightarrow \left|\alpha (x)\right|<\varepsilon _{1})$$\forall \varepsilon _{{1}}>0\,\exists \delta _{{1}}>0:\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{{1}}\Rightarrow \left|\alpha (x)\right|<\varepsilon _{{1}})$.

Зафиксируем $t$$t$ из отрезка $[a,\;a+\delta _{1}]$$[a,\;a+\delta _{1}]$ и применим теорему Коши ко всем $x$$x$ из отрезка $[a,\;t]$$[a,\;t]$:

$\forall x\in [a;t]\ \exists c\in (a;\;x)\!:{\frac {f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$$\forall x\in [a;t]\ \exists c\in (a;\;x)\!:{\frac {f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$, что можно привести к следующему виду:

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {1-{\frac {g(t)}{g(x)}}}{1-{\frac {f(t)}{f(x)}}}}\cdot {\frac {f'(c)}{g'(c)}}$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {1-{\frac {g(t)}{g(x)}}}{1-{\frac {f(t)}{f(x)}}}}\cdot {\frac {f'(c)}{g'(c)}}$.

Для $x$$x$, достаточно близких к $a$$a$, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $f(t)$$f(t)$ и $g(t)$$g(t)$ — константы, а $f(x)$$f(x)$ и $g(x)$$g(x)$ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $1+\beta$$1+\beta$, где $\beta$$\beta$ — бесконечно малая функция при стремлении $x$$x$ к $a$$a$ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $\varepsilon$$\varepsilon$, что и в определении для $\alpha$$\alpha$:

$\forall \varepsilon _{1}>0\,\exists \delta _{2}>0\ :\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{2}\Rightarrow \left|\beta (x)\right|<\varepsilon _{1})$$\forall \varepsilon _{{1}}>0\,\exists \delta _{{2}}>0\ :\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{{2}}\Rightarrow \left|\beta (x)\right|<\varepsilon _{{1}})$.

Получили, что отношение функций представимо в виде $(1+\beta )(A+\alpha )$$(1+\beta )(A+\alpha )$, и $\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-A\right|<|A|\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2}$$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-A\right|<|A|\varepsilon _{{1}}+\varepsilon _{{1}}+\varepsilon _{{1}}^{{2}}$. По любому данному $\varepsilon$$\varepsilon$ можно найти такое $\varepsilon _{1}$$\varepsilon_{1}$, чтобы модуль разности отношения функций и $A$$A$ был меньше $\varepsilon$$\varepsilon$, значит, предел отношения функций действительно равен $A$$A$.

Если же предел $A$$A$ бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

$\forall M>0\,\exists \delta _{1}>0:\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{1}\Rightarrow {\frac {f'(x)}{g'(x)}}>2M)$$\forall M>0\,\exists \delta _{{1}}>0:\forall x(0\leqslant x-a<\delta _{{1}}\Rightarrow {\frac {f'(x)}{g'(x)}}>2M)$.

В определении $\beta$$\beta$ будем брать $\varepsilon _{1}<{\frac {1}{2}}$$\varepsilon _{{1}}<{\frac {1}{2}}$; первый множитель правой части будет больше ${\frac {1}{2}}$$\frac12$ при $x$$x$, достаточно близких к $a$$a$, а тогда ${\frac {f(x)}{g(x)}}>{\frac {1}{2}}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim \limits _{x\to a+}{\frac {f(x)}{g(x)}}=+\infty$${\frac {f(x)}{g(x)}}>{\frac {1}{2}}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim \limits _{{x\to a+}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=+\infty$.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае $x^{3}$$x^{3}$). В этом примере получается:

  $\lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty$$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{x^{{a}}}}}=\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{a\cdot x^{{a-1}}}}}=\ldots =\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{a!}}}=+\infty$ — применение правила $a$$a$ раз;
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty$$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {x^{{a}}}{\ln {x}}}}=\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {ax^{{a-1}}}{{\frac {1}{x}}}}}=a\cdot \lim _{{x\to +\infty }}{x^{{a}}}=+\infty$ при $a>0$$a>0$.

В искусстве

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

А также песня группы "научно-технический рэп" - "Правило Лопиталя".