Предел Чандрасекара

Предел Чандрасекара - верхний предел массы ${\mathfrak {M}}_{Ch}$ холодного невращающегося белого карлика, определяемый условием равенства сил давления вырожденного электронного газа и гравитации.

Эффекты вырождения в белых карликах

Рис. 1. Зависимость давления вырожденного газа от температуры, сохранению состояния вырождения соответствует горизонтальная ветвь.

Массы белых карликов составляют порядка солнечной, но размеры $R\leq 10^{-2}$ солнечных, т. е. их плотность чрезвычайно высока и составляет $\rho \sim 10^{5}-10^{9}$ г/см³. При таких плотностях электронные оболочки атомов разрушаются и вещество представляет собой электронно-ядерную плазму, причём её электронная составляющая представляет собой вырожденный электронный газ. Давление P такого газа подчиняется следующей зависимости:

$P=K\rho ^{5/3}$

где $\rho$ — его плотность, т. е., в отличие от уравнения Клапейрона (уравнения состояния идеального газа), для вырожденного электронного газа температура в уравнение состояния не входит — его давление от температуры при сохранении состояния вырождения не зависит (см. Рис. 1).

Вышеприведённое уравнение состояния действительно для холодного (нерелятивистского) вырожденного электронного газа, но температура даже в несколько миллионов градусов мала по сравнению с характерной ферми-энергией электронов ($kT<<E_{F}$). Вместе с тем, при росте плотности вещества из-за запрета Паули (два электрона не могут иметь одно квантовое состояние, т. е. одинаковую энергию и спин), энергия и скорость электронов возрастают настолько, что начинают действовать эффекты теории относительности — вырожденный электронный газ становится релятивистским. Зависимость давления $P$ релятивистского вырожденного электронного газа:

$P=K\rho ^{4/3}$ .

Качественное рассмотрение

Рис. 2. Зависимость масса—радиус для белых карликов. Вертикальная асимптота соответствует пределу Чандрасекара.

Пусть средняя плотность белого карлика $\rho \sim M/R^{3}$, где $M$ — масса, а $R$ — радиус белого карлика. Тогда давление $P\sim M^{4/3}/R^{4}$ и сила давления, противодействующая гравитации и равная перепаду давления по глубине:

${P \over R}\sim {{M^{4/3}} \over {R^{5}}}$

Гравитационные силы, противодействующие давлению:

${{\rho GM} \over {R^{2}}}\sim {{M^{2}} \over {R^{5}}}$,

т. е., хотя перепад давления и гравитационные силы одинаково зависят от радиуса, но по разному зависят от массы — как ~$M^{4/3}$ и ~$M^{2}$ соответственно. Следствием такого соотношения зависимостей является существование некоторого значения массы звезды, при которой они уравновешиваются, и, поскольку гравитационные силы зависят от массы сильнее, чем перепад давления, при увеличении массы белого карлика его радиус уменьшается (см. Рис. 2). Другим следствием является то, что если масса превышает некий предел, то звезда сколлапсирует, пока вследствие нейтронизации её вещества и роста плотности наступит вырождение образовавшегося нейтронного газа и не наступит новое равновесие с образованием нейтронной звезды.

Таким образом, для белых карликов существует верхний предел массы, получивший название предела Чандрасекара.

Количественное рассмотрение

Уравнение состояния $P$ релятивистского вырожденного электронного газа

$p=K\rho ^{4/3}$ , (1)

где

$K={1 \over 8}\left({3 \over {\pi }}\right)^{1/3}{hc \over {(m_{u}\mu _{e})^{4/3}}}\approx {1.244\cdot 10^{15} \over {\mu _{e}^{4/3}}}$ см³/(с² г^1/3). (2)

Здесь $m_{u}$ атомная единица массы, $\mu _{e}$ - молекулярная масса, приходящаяся на один электрон (число электронов в единице объема равно $\rho /(m_{u}\mu _{e})$).

В соответствии со стандартной теорией строения звёзд белый карлик является политропным газовым шаром с гидростатически равновесной сферически-симметричной конфигурацией, внутри внутри которой

$p\sim \rho ^{1+{1 \over n}}$ и n=3;

при этом имеется соотношение между постоянной K и массой ${\mathfrak {M}}$ политропного шара:

$K=0,3639\cdot G{\mathfrak {M}}^{2/3}$ , (3)

где 0,3639 - коэффициент, определяемый условием гидростатического равновесия. При подстановке значения K из (2) в (3), предельная масса ${\mathfrak {M}}_{Ch}$ белого карлика в солнечных массах ${\mathfrak {M}}_{Sol}$:

${\mathfrak {M}}_{Ch}={0,1967 \over {(m_{u}\mu _{e})^{2}}}\left({hc \over G}\right)^{3/2}={5,83 \over {\mu _{e}^{2}}}{\mathfrak {M}}_{Sol}$. (4)

Значение предела Чандрасекара ${\mathfrak {M}}_{Ch}$ слабо зависит от $\mu _{e}$: в идеальной политропной модели как $\mu _{e}^{-2}$, однако из-за нейтронизации и эффектов общей теории относительности зависимость оказывается ещё слабее.

Предел Чандрасекара и сверхновые типа Ia

Рис. 3. Слева — изображение в рентгеновском диапазоне остатков сверхновой SN 1572 типа Ia, наблюдавшейся Тихо Браге в 1572 г.. Справа — фотография в оптическом диапазоне, отмечен бывший компаньон взорвавшегося белого карлика

В тесных двойных системах зачастую одним из компонент является белым карликом. В случае если его компаньон в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, начинается интенсивная аккреция на белый карлик, в ходе которой им может быть превзойдён предел Чандрасекара, последствием чего является взрыв сверхновой типа Ia. Поскольку такие сверхновые оказываются «калиброванными по массе» пределом Чандрасекара, то их энерговыделение тоже оказывается «калиброванным»: различия в их блеске весьма невелики. Благодаря такой особенности сверхновые типа Ia используются для определения расстояний до удалённых галактик.

В англоязычной литературе для таких объектов с известной абсолютной светимостью устоялся термин standard candles, другим примером могут служить цефеиды с известной зависимостью период-светимость.

См. также

• Белый карлик
• Вырожденный газ
• Нейтронная звезда
• Предел Оппенгеймера-Волкова
• Сверхновая звезда

Литература

• Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд, М., 1981
• Шкловский И. С. Звёзды: их рождение, жизнь и смерть, М.: Наука, 1984