Пфаффиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера , и в этом случае его степень равна n.

Примеры[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Пусть обозначает множество всех разбиений множества на неупорядоченные пары (всего существует таких разбиений). Разбиение может быть записано

где и . Пусть

обозначает соответствующую перестановку, а знак перестановки . Нетрудно видеть, что не зависит от выбора .

Пусть обозначает кососимметричную матрицу. Для разбиения определим

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера для нечётного n равен нулю по определению.

Альтернативное определение[править | править вики-текст]

Для кососимметричной матрицы рассмотрим бивектор:

где есть стандартный базис в . Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

где обозначает внешнее произведение n копий .

Свойства[править | править вики-текст]

Для кососимметричной матрицы и для произвольной матрицы :

  • Для блок-диагональной матрицы
  • Для произвольной матрицы :

История[править | править вики-текст]

Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]