Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера $2n\times 2n$, и в этом случае его степень равна n.

Примеры

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$

Определение

Пусть $\Pi$ обозначает множество всех разбиений множества $\{1,2,\dots ,2n\}$ на неупорядоченные пары (всего существует $(2n-1)!!$ таких разбиений). Разбиение $\alpha \in \Pi$ может быть записано

$\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}$

где $i_{k}<j_{k}$ и $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$. Пусть

$\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}$

обозначает соответствующую перестановку, а ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ — знак перестановки $\pi$. Нетрудно видеть, что ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ не зависит от выбора $\pi$.

Пусть $A=\{a_{ij}\}$ обозначает $2n\times 2n$ кососимметричную матрицу. Для разбиения $\alpha$ определим

$A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.$

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

$\operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.$

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера $n\times n$ для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

Пфаффиан матрицы размера $0\times 0$ полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера $2n\times 2n$ при $n>0$ может быть определён рекурсивно следующим образом:

$\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),$

где индекс $i$ может быть выбран произвольно, $\theta (i-j)$ — функция Хевисайда, $A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}$ обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ рассмотрим бивектор:

$\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.$

где $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}$ есть стандартный базис в $\mathbb {R} ^{2n}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

${\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},$

где $\omega ^{\wedge n}$ обозначает внешнее произведение n копий $\omega$.

Свойства

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A$ и для произвольной $2n\times 2n$ матрицы $B$:

• ${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

• ${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

• ${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• ${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

• Для блок-диагональной матрицы

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).$

• Для произвольной $n\times n$ матрицы $M$:

${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Литература

• Вялый М. Н. Пфаффианы для задач перечисления // Летняя школа «Современная математика». — 2004.
• Вялый М. Н. Пфаффианы или искусство расставлять знаки… // Математическое Просвещение. — 2005. — № 9.