Пятиугольник Роббинса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пятиугольник Роббинса с площадью 13104
Пятиугольник Роббинса с площадью 7392

Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороны которого и площадь являются рациональными числами.

История[править | править код]

Бухгольц и МакДугал назвали пятиугольник именем Роббинса [1] в честь Дэвида Роббинса, давшего формулу для вписанного пятиугольника как функции длин сторон. Бухгольц и МакДугал выбрали это имя по аналогии с названием треугольника Герона именем Герона, открывателя формулы Герона для площади треугольника как функции от его сторон.

Площадь и периметр[править | править код]

Любой пятиугольник Роббинса можно привести, путём изменения размеров, к пятиугольнику, стороны и площадь которого являются целыми числами. Более того, Бухгольц и МакДугал показали, что если стороны являются целыми числами и площадь является рациональным числом, то площадь тоже будет целым числом, а периметр будет чётным.

Диагонали[править | править код]

Бухгольц и МакДугал также показали, что в любом пятиугольнике Роббинса либо все пять внутренних диагоналей являются рациональными числами, либо ни одна из диагоналей рациональной не является. Если пять диагоналей рациональны (этот случай Састри назвал пятиугольником Брахмагупты[2]), то радиус его описанной окружности тоже должен быть рациональным, и пятиугольник можно разложить на три треугольника Герона по любым двум непересекающимся диагоналям или на пять треугольников Герона разрезанием вдоль радиусов от центра к вершинам.

Бухгольц и МакДугал провели компьютерный поиск пятиугольников Роббинса с иррациональными диагоналями, но безуспешно. На основе этого они предположили, что пятиугольники Роббинса с иррациональными диагоналями не существуют.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]