Формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

где p — полупериметр треугольника: p = \frac{a + b + c}2.

История[править | править вики-текст]

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации[править | править вики-текст]

  • Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.

Аналоги формулы Герона[править | править вики-текст]

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

  • Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b, and c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]
S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.
  • Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2. Тогда имеем [5]
 S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}

или в развернутом виде S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}

  • Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]
S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.

Обобщения[править | править вики-текст]

где p=\frac{a+b+c+d}2 — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}}

Для сферического треугольника[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]