Формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

где p — полупериметр треугольника: .


История[править | править вики-текст]

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации[править | править вики-текст]

  • Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
  • Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
  • Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) для вычисления гиперобъёма симплекса.
  • Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2] [3] для формулы Герона.

Аналоги формулы Герона[править | править вики-текст]

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

  • Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]
  • Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через . Тогда имеем [5]

или в развернутом виде

  • Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:

Обобщения[править | править вики-текст]

где  — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

  • Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [2].
  • Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение
    .

Для сферического треугольника[править | править вики-текст]

  • Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
    , где  — полупериметр.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]