Формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

где p — полупериметр треугольника: .

История[править | править код]

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации[править | править код]

  • Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
  • Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
  • Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) для вычисления гиперобъёма симплекса.

Аналоги формулы Герона[править | править код]

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

  • Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [2]
  • Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через . Тогда имеем [3]
или в развернутом виде
  • Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [4]

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:

Обобщения[править | править код]

где  — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)
  • Та же Формула Брахмагупты через определитель[5]:
  • Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма верно выражение
    .
  • Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы [6]
где

Для сферического треугольника[править | править код]

  • Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны как:
    , где  — полупериметр.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
  3. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  5. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  6. W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16-17.

Литература[править | править код]